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Modèles linéaires

Soit $(x_t)_{t\in{\cal T}}$ une série temporelle (univariée, discrète). Une première approche de la modélisation, dite décomposition classique, est de supposer qu'il s'agit d'une trajectoire typique d'un processus $(X_t)_{t\in{\cal T}}$ dont on distingue une partie déterministe et une partie aléatoire :

$$X_t=f(t)+U_t\hskip1cm$$ (modèle additif)

La fonction $f$ est déterministe, et $(U_t)_{t\in{\cal T}}$ est un processus aléatoire centré, parfois appelé résidu aléatoire. Il en résulte

$$f(t)={\mathbb{E}}\left[X_t\right]$$

Il est souvent possible de décomposer $f$ en somme d'une tendance $f_{\tau}$ et d'une ou de plusieurs saisonnalités $(f_{\sigma_i},i=1,\ldots,k)$ de périodes différentes :

$$\forall t\in{\cal T},\ \ f(t)=f_{\tau}(t)+\sum_{i=1}^kf_{\sigma_i}(t)$$

Une saisonnalité $f_{\sigma}$ est une fonction périodique ``centrée'' ; si $T$ est sa période, alors elle doit vérifier les deux conditions (en supposant ${\cal T}\subset{\mathbb{Z}}$) :

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ \left\{ \begin{array}{lc} f_{\sigma}... ...{\sigma}(t)+f_{\sigma}(t+1)+\cdots+f_{\sigma}(t+T-1)=0&(**) \end{array}\right.$$

Remarquons que $(**)$ implique $(*)$ : en effet, si $f_{\sigma}(t)+\cdots+f_{\sigma}(t+T-1)=f_{\sigma}(t+1)+\cdots+f_{\sigma}(t+T)=0$ , alors, par soustraction, $f(t)-f(t+T)=0$.

Opérer une décomposition classique revient donc à distinguer dans la série initiale trois phénomènes concommittants :

• une allure régulière, représentée par la tendance, et caractérisant l'évolution à moyen et long terme de la série
• des variations à court terme cycliques et prévisibles, représentées par la saisonnalité
• une partie erratique, imprévisible, représentée par le résidu, correspondant aux aléas des mesures ou des événements

Si $(U_t)_{t\in{\cal T}}$ est un bruit blanc, et si $f(t)\equiv f(t,{\beta})$ est une fonction linéaire de son paramètre ${\beta}\in{\mathbb{R}}^p$, alors on reconnaît dans le modèle additif un modèle linéaire. Sur quelques exemples, nous allons voir comment le mettre en uvre en pratique, en s'aidant des techniques de moyennes mobiles pour déterminer $f$.

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