Section : Transformation de Box-Cox
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Exemple.

Au vu de la série du lac Huron, on observe que les fluctuations autour de la tendance parabolique paraissent croissantes avec le temps, alors que le niveau moyen diminue. On est donc tenté de reprendre l'étude de la série en effectuant au préalable une transformation de Box-Cox de paramètre ${\lambda}>1$. Mais l'on constate que la série évolue entre 575,96 et 581,86, soit une amplitude de $6$, cent fois moindre que le niveau moyen de l'ordre de 580. Il est donc nécessaire de retirer une constante à la série avant d'effectuer la transformation. On s'intéresse donc au modèle

$${\varphi}_{\lambda}(X_t-C)={\alpha}+{\beta}t+{\gamma}t^2+{\varepsilon}_t$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc gaussien de variance ${\sigma}^2$. On choisit $C=570$. Les paramètres sont donc $({\lambda},{\alpha},{\beta},{\gamma},{\sigma}^2)$. Pour différentes valeurs de ${\lambda}$, on calcule le maximum de la log-vraisemblance lorsque $({\alpha},{\beta},{\gamma},{\sigma}^2)$ parcourt ${\mathbb{R}}^3\times{\mathbb{R}}_+^*$ :

${\lambda}$	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2	2,2	2,4	2,6	2,8
$\log L$	-225,53	-224,91	-224,40	-224,02	-223,75	-223,59	-223,56	-223,64	-223,83	-224,15

On choisit donc ${\lambda}=2,2$.

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