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Remarques

• Si la série $x$ prend des valeurs négatives ou nulles, il est loisible de lui rajouter arbitrairement une constante afin d'obtenir une série à termes positifs et avant d'effectuer une transformation de Box-Cox.
• Pour ${\lambda}=1$, la transformation de Box-Cox ne modifie pas la série, en dehors d'une translation par 1 qui n'a aucune incidence sur l'étude statistique.
• Pour ${\lambda}<1$, l'effet de la transformation de Box-Cox est de ramener à une amplitude constante des variations qui croissent avec le niveau moyen de la tendance générale. Plus ${\lambda}$ est proche de 0, plus cet effet est important.
• Pour ${\lambda}>1$, l'effet est opposé, et la transformation de Box-Cox est alors à utiliser avec des séries dont les fluctuations croissent quand la série elle-même décroît. C'est par exemple le cas de la série associée au lac Huron.
• Si l'amplitude des variations de la série est négligeable devant son niveau moyen, alors l'effet d'une transformation de Box-Cox peut se réduire à une transformation affine, c'est-à-dire rester inutile. En effet, si on note $m$ le niveau moyen de la série, et si ${\Delta}x_t=x_t-m=o(m)$, alors
  $${\varphi}_{\lambda}(x_t)=\frac{1}{\lambda}\left((m+{\Delta}x_t)^{... ...Delta}x_t}{m}\right)-1\right)=x_tm^{{\lambda}-1}+\frac{m^{\lambda}-1}{\lambda}$$
  Pour remédier à cette inefficacité, il peut être bon de soustraire une constante à la série avant d'opérer la transformation de Box-Cox. On modélisera alors la série $({\varphi}_{\lambda}(x_t-C),t\in{\cal T})$.

Le problème qui se pose est de choisir la valeur de ${\lambda}$, voire de $C$. Le choix de $C$ s'effectue en premier et est arbitraire. Quant au choix de ${\lambda}$, il y a deux approches :

1. Soit on se restreint à un petit nombre de valeurs ${\lambda}=0,1/2,1,3/2,2$ ; on essaie alors celles qui sont le plus vraisemblable et on compare les résultats.
2. Soit on cherche à estimer la valeur de ${\lambda}$. Le modèle statistique est celui associé à $X=(X_t,t\in{\cal T})$, vérifiant
   $$\forall t\in{\cal T},\ \ {\varphi}_{\lambda}(X_t-C)=f(t,{\beta})+{\varepsilon}_t$$
   avec $f$ fonction linéaire de ${\beta}\in {\mathbb{R}}^d$, et ${\varepsilon}$ bruit blanc de variance ${\sigma}^2$. On fait l'hypothèse que le bruit blanc est gaussien. Le modèle est paramètrisé par $({\lambda},{\beta},{\sigma}^2)$, et on choisit alors l'estimateur de ${\lambda}$ (puis de ${\beta}$) comme l'estimateur du maximum de vraisemblance. Rappelons que dans le cas ordinaire où ${\lambda}=1$, l'estimateur des moindres carrés de ${\beta}$ est l'estimateur du maximum de vraisemblance du modèle gaussien.

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