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Notations

On appelle moyenne mobile symétrique d'ordre $n$ la fonction qui à tout processus $(X_t,t\in{\cal T}\subset{\mathbb{Z}})$ associe le processus $(MM_{n}(X)_t,t\in{\cal T}'\subset{\cal T})$ avec

$$MM_{2p+1}(X)_t = \frac{1}{2p+1}\sum_{h=-p}^pX_{t+h}$$

$$MM_{2p}(X)_t = \frac{1}{2p}\left(\frac{1}{2}X_{t-p}+\sum_{h=-p+1}^{p-1}X_{t+h}+\frac{1}{2}X_{t+p}\right)$$

et

$${\cal T}'=\left\{t\in{\cal T}\, \vert\, \forall h\in\left\{-\left... ...n}{2}\right],\ldots,\left[\frac{n}{2}\right]\right\},\, t+h\in{\cal T}\right\}$$

On définit bien sûr de façon analogue $MM_n(x)_t$.

En choisissant $p=5$ puis $12$, voici les valeurs prises par la série $\left(\frac{1}{2p+1}\sum_{h=-p}^px_{t+h},t=1875+p,\ldots,1972-p\right)$ obtenue par le procédé de moyenne mobile :

Au vu de cette estimation de $f_{\tau}$, il paraît peu justifié de faire l'hypothèse d'une tendance affine. On supposera plutôt la tendance parabolique

$$f_{\tau}={\alpha}+{\beta}t+{\gamma}t^2$$

On a donc le modèle linéaire

$$\forall t\in{\cal T},\ \ X_t={\alpha}+{\beta}t+{\gamma}t^2+{\varepsilon}_t$$

On en déduit les estimateurs des moindres carrés de ${\alpha},{\beta},{\gamma}$ et ${\sigma}^2$. L'application numérique donne

$$\hat {\alpha}=3124\ \ \hat{\beta}=-2,623\ \ \hat{\gamma}=6,755.10^{-4}\ \ \hat{\sigma}^2=1,05$$

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