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Lac Huron

Le niveau du lac Huron, aux États-Unis, a été mesuré pendant près d'un siècle :

$${\cal T} = \{1875,1876,\ldots,1972\}$$

$$\char93 {\cal T} = 98$$

$$x_t = t$$

On n'observe pas de comportement saisonnier, seulement une allure globalement décroissante. On suppose donc le modèle de la forme

$$X_t=f_{\tau}(t)+{\varepsilon}_t$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc faible de variance ${\sigma}^2$, et $f_{\tau}$ à déterminer.

Pour une première estimation de la tendance, on utilise un procédé de lissage à base de moyenne mobile. A la base de cette technique, il y a l'idée que la tendance est une fonction régulière du temps, et qu'en tout point il est ``raisonnable'' de l'approximer par sa tangente. Autrement dit, quel que soit $t\in{\cal T}$, il existe $g_{\tau}(t)$ tel que

$$f_{\tau}(t+h)\simeq f_{\tau}(t)+hg_{\tau}(t)$$

pour $h$ suffisamment petit. Si on remarque alors que

$$\frac{1}{2p+1}\sum_{h=-p}^p\left(f_{\tau}(t)+hg_{\tau}(t)\right)=f_{\tau}(t),$$

on en déduit qu'on peut construire un estimateur raisonnable de $f_{\tau}(t)$ en faisant la moyenne des valeurs prises par le processus $X$ autour de $t$ :

$$\hat f_{\tau}(t)=\frac{1}{2p+1}\sum_{h=-p}^pX_{t+h}=\frac{1}{2p+1}\sum_{h=-p}^pf_{\tau}(t+h)+ \frac{1}{2p+1}\sum_{h=-p}^p{\varepsilon}_{t+h}$$

Le risque de cet estimateur vaut

$${\mathbb{E}}\left[\left(\hat f_{\tau}(t)-f_{\tau}(t)\right)^2\rig... ...a^2}{2p+1}+\left(\frac{1}{2p+1}\sum_{h=-p}^pf_{\tau}(t+h)-f_{\tau}(t)\right)^2$$

Pour de faibles valeurs de $p$, le biais est faible, mais la variance de l'estimateur est forte. Pour de plus grandes valeurs de $p$, la variance est moindre, mais le biais peut devenir important. Il y a donc une valeur optimale de $p$, qu'il est néanmoins difficile de prévoir.

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