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Mortalité en Normandie

Des archives du village de Ger, situé en Normandie, on a extrait le nombre de décès par année au cours d'une période qui s'étend sur plus d'un siècle, mais qui comporte des lacunes :

$${\cal T} = \{1668,1669,1670,1681,\ldots,1801,1802\}$$

$$\char93 {\cal T} = 110$$

$$x_t = t$$

On n'observe pas de comportement saisonnier, seulement une allure globalement croissante. Comme précédemment, pour déterminer la forme a priori de la tendance, on utilise une moyenne mobile. Ici, la présence de nombreuses lacunes dans les données diminue l'intérêt de ce procédé : en effet, pour calculer par exemple la moyenne mobile en $t$ d'ordre $2p+1$, à savoir $\frac{1}{2p+1}\left(x_{t-p}+\cdots+t_{t+p}\right)$, il faut disposer de toutes les valeurs de la série entre $t-p$ et $t+p$. Plus $p$ est grand, plus cela limite les instants en lesquelles la moyenne mobile est calculable.

La tendance n'a pas une allure simple. Mais en dehors de valeurs prises en fin de période, elle apparaît croissante, approximativement affine.

On suppose donc le modèle de la forme

$$X_t=f_{\tau}(t)+{\varepsilon}_t$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc faible de variance ${\sigma}^2$, et $f_{\tau}(t)={\alpha}+{\beta} t$, ce qui conduit au modèle de régression à un facteur suivant :

$$\forall t\in{\cal T}\ \ X_t={\alpha}+{\beta} t+{\varepsilon}_t$$

Dans ce modèle, il y a une partie déterministe, explicable, estimable, la droite $({\alpha}+{\beta} t,t\in{\cal T})$ ; et une partie totalement aléatoire, inaccessible, erratique, le bruit blanc ${\varepsilon}$.

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