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Lynx

La série suivante, comme la précédente, fait partie des séries temporelles classiques et très étudiées. Il s'agit du relevé du nombre de lynx capturés annuellement au Canada entre les années 1821 et 1934 :

$${\cal T} = \{1821,1822,\ldots,1934\}$$

$$\char93 {\cal T} = 114$$

$$x_t = t$$

La première remarque que l'on peut faire, c'est que la variabilité entre deux observations successives est très fluctuante : en période basse, les relevés sont très proches, tandis qu'ils diffèrent beaucoup en période haute. Il est dans ces conditions difficile de croire à un modèle linéaire où la variance est supposée constante à tout instant. Pour remédier à ce problème, et ``stabiliser la variance'', une astuce consiste à passer au logarithme : on considère désormais la série $(y_t=\ln(x_t),t\in{\cal T})$ :

La seconde observation que l'on peut faire est la présence d'un phénomène d'allure cyclique, lié à la dynamique suivante : le nombre de lynx capturés est vraisemblablement proportionnel à leur population ; or

• quand ils sont peu nombreux, les lynx disposent de gibier en abondance et leur population s'accroît
• quand ils sont trop nombreux, leur gibier se raréfie et leur population décroît

Ce phénomène n'a pas la régularité des cycles liés aux saisons, par exemple. La période varie, en général entre 10 et 11 ans. Il va donc être difficile d'utiliser un modèle linéaire qui est une structure très rigide. Si par exemple on fait l'hypothèse d'une tendance longue constante, et d'une saisonnalité de période 10, on obtient les estimations suivantes :

On voit sur la série corrigée des variations saisonnières que l'on est bien loin d'avoir éliminé les facteurs saisonniers. On ferait la même constatation si l'on avait supposé une saisonnalité de période 11. Le modèle linéaire échoue ici à proposer une interprétation convainquante des données.

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