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Conditionnement par un événement

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé $(\Omega ,\textbf{P})$ avec $\textbf{P}B >0$ ; La probabilité conditionnelle $\textbf{P}[A\vert B]$ de $A$ quand $B$ (on dit aussi "sachant $B$ ") sera , par définition

$$\textbf{P}[A\vert B]=\frac{\textbf{P}AB}{\textbf{P}B}$$

On a évidemment les égalités

$$\textbf{P}(A+A'\vert B)=\textbf{P}(A\vert B)+\textbf{P}(A'\vert B) \;;\;\textbf{P}[\Omega\vert B]=1\;;\;\textbf{P}[\phi \vert B]=0 .$$

La fonction d'ensemble $\textbf{P}_B$ définie par $\textbf{P}_B(A)={\textbf{P}AB\over {\textbf{P}B}}$ est donc une nouvelle probabilité sur $\Omega$ .
Les deux propriétés suivantes sont conformes à l'idée intuitive que l'on se fait d'un conditionnement .

• $\textbf{P}_B [B]=1$ ; (la probabilité qu'il pleuve , sachant qu'il pleut , est égale à 1) .
• Les événements invariants par ce changement de probabilité sont exactement les événements indépendants de $B$ ; (la probabilité de $A$ : il va pleuvoir est modifiée par la connaissance de l'événement : le temps est couvert , mais ne l'est pas par celle de l'événement indépendant : j'ai un brelan servi) .