Section : Conditionnement par un événement
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Exercice : Conditionnement d'une loi multinomiale

Soient $p$ et $q$ deux entiers $>0\;et\; \alpha _1, \alpha _2, ..., \alpha _q\;\\ q \;reels >0$ ; on pose $H=\{k\in \{0,1,,...,p\}^q\;\vert \; k_0+ k_1+k_2+...+k_q=p\}$ ; On dit qu'une v.a.
$Z=(Z_1,Z_2,...Z_q)$ à valeurs dans $\{0,1,2,...,p\}^q$ est multinomiale de parametres $(\alpha _1, \alpha _2, ..., \alpha _q , p , q)$ (cf 1.2.6) si elle admet pour loi la probabilité sur $\{0,1,...,p\}^q$ , portée par $H$ définie par

$$\textbf{P}[Z_1=k_1;Z_2=k_2;...Z_q=k_q]=\frac {p!}{k_1!k_2!...k_q!}\alpha _1^{k_1}\alpha _2^{k_2}...\alpha _q^{k_q}\;\;\;\;\forall k\in H$$

Soit $Z$ une telle variable aléatoire ; montrer que la loi conditionnelle de ( $Z_1,Z_2,...,Z_{q-1}$) quand $[Z_q=j]$ est la loi multinomiale de paramètres ( $\frac{n_1}{n-n_q} ,\frac{n_2}{n-n_q} ,..., \frac{n_{q-1}}{n-n_q}\;\;\;,p-j\;\;\;,q-1$ ) .