Section : Conditionnement par un événement
Précédent : Exercice : Conditionnement d'une
Suivant : Exemples:

Espérance conditionnelle d'une variable aléatoire réelle

Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $B$ un événement de probabilité non nulle ; l' espérance de $X$ relativement à la probabilité $\textbf{P}_B$ (introduite au début de ce chapitre) , sera notée $\textbf{E}_B[X]$ ou $\textbf{E}[X\vert B]$ et sera appelée espérance conditionnelle de $X$ quand $B$ . L'égalité

$$\textbf{E}[X\vert B] =\frac{\textbf{E}[X1_B]}{\textbf{P}B}$$ (2.3)

se démontre aisément si l'on a retenu () dont nous reprenons les notations ; on a en effet

$$\textbf{E}_B[X]=\sum_ia_i\textbf{P}_BA_i={1\over \textbf{P}B}\sum... ...tbf{P}B}\textbf{E}[1_B\sum_ia_i1_{A_i}]={1\over \textbf{P}B}\textbf{E}[X1_B]\;.$$

Le calcul pratique de l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire s'effectue à l'aide de sa loi conditionnelle ; appliquant () à la probabilité $\textbf{P}_B$ , on obtient en effet

$$\textbf{E}[X\vert B]=\sum_{k\in X(\Omega)}k\Pi_{X/B}(k)$$ (2.4)