Section : Loi d'une variable aléatoire
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Proposition:

Soient $X$ une v.a. à valeurs dans $E$ et $\phi$ une application de $E$ dans ${\mathbb{R}}$ ; $\phi (X)$ est alors une variable aléatoire réelle dont l'espérance est donnée par la formule :

$$\textbf{E}[\phi (X)] = \sum_{k\in X(\Omega)}\phi (k)\Pi_X(k) .$$ (1.7)

Démonstration : Ce résultat découle immédiatement de l'égalité (à peu près évidente , si l'on a réfléchi à () )

$$\Phi(X)=\sum_{k\in X(\Omega)}\Phi(k)1_{\{X=k\}}$$

et de la linéarité de l'espérance
Dans le cas où $X$ est elle réelle , on a en particulier

$$\textbf{E}[X]=\sum_{k\in X(\Omega)}k\Pi_X(k) \;\;\; , \;\;\;\text... ... X(\Omega)}k^r\Pi_X(k)\;\;,\;\;\textbf{E}[s^X]=\sum_{k\in X(\Omega)}s^k\Pi_X(k)$$ (1.8)

Par exemple , si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $(\alpha ,p)$ , on a

$$\textbf{E}[X]=\sum_{k=0}^{k=p}k \left( \begin{array}{c} p\\ k \end{array}\right) \alpha ^k(1-\alpha )^{p-k} .$$

Le calcul du second membre est un exercice classique sur la formule du binôme (développer $(x+a)^p$ , dériver , puis faire $a=1-x$ dans l'égalité obtenue) ; on obtient $\textbf{E}[X]= p \alpha$ ; on retrouve ainsi d'une autre façon la valeur trouvée en 1.2.4 pour l'espérance de $Z_1$ (dans ce cas , $\alpha ={n_1\over n}$)