Section : Loi conditionnelle d'une variable
Précédent : Loi conditionnelle d'une variable
Suivant : Exercice : Conditionnement d'une

Exemple

On joue $n$ fois à un jeu de pile ou face biaisé ; le $k\textsuperscript{i\\lq eme}$ coup est représenté par une v.a. $X_k$ de Bernoulli vérifiant $\textbf{P}[X_k =1] =\alpha$ ; la suite de v.a. ( $X_k\;\;\;1\leq k\leq n$) est supposée indépendante. Si $p\leq n$ , $S_p = \sum_{k=1}^p X_k$ représente le nombre de piles tombés au cours des $p$ premiers coups ; nous savons que la loi de $S_p$ est binomiale de paramètres $(\alpha ,p)$ .
Donnons nous maintenant un autre entier $q\leq n$ et examinons la loi de $S_p$ quand $[S_n=q]$ . On a

$$\textbf{P}[S_p=k \;\vert\;S_n=q] = \frac{\textbf{P}[S_p=k\; ;S_n=... ...f{P}[S_n=q]}=\frac{\textbf{P}[S_p=k]\textbf{P}[S_{n-p}=q-k]}{\textbf{P}[S_n=q]}$$

La dernière égalité provenant de ce que $S_n -S_p$ est indépendante de $S_p$ et a même loi que $S_{n-p}$ . Un calcul facile montre alors que

$$\textbf{P}[S_p=k\;\vert\;S_n=q]=\frac{ \left( \begin{array}{c} p\... ... n\\ q \end{array} \right)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;((p+q-n)_+\leq k\leq p \wedge q)$$ (2.1)

En particulier , pour $p=1$ ,

$$\textbf{P}[X_1=1\;\vert\;S_n=q]=\textbf{P}[S_1=1\;\vert\;S_n=q]={q\over n}\;\;\;,\;\;\;\textbf{P}[X_1=0\;\vert\;S_n=q]=1-{q\over n}$$ (2.2)

Dans le conditionnement par l'événement $[S_n=q]$ la loi binomiale de $S_p$ est devenue la loi hypergéométrique rencontrée au paragraphe (1.2.5.) ; celle de $X_1$ est quant à elle restée une loi de Bernoulli mais avec un paramètre différent . On remarquera que les lois conditionnelles trouvées ne dépendent plus de $\alpha$
Section : Loi conditionnelle d'une variable
Précédent : Loi conditionnelle d'une variable
Suivant : Exercice : Conditionnement d'une