Section : Conditionnement par un événement
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Conditionnement et indépendance

On dira que $X$ est indépendante de $B$ si les v.a. $X$ et $1_B$ sont indépendantes ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que $[X=k]$ soit indépendant de $B\;\;\;\;\forall k\in X(\Omega)$ ce qui s'écrit encore

$$\textbf{P}[X=k\;\vert\;B]=\textbf{P}[X=k]\;\;\;\forall k .$$

L'égalité

$$\Pi_{X/B}=\Pi_X$$ (2.6)

est donc une condition nécessaire et suffisante assurant l'indépendance de $X$ et $B$. On notera que () entraîne

$$\textbf{E}[X\vert B]=\textbf{E}[X]$$ (2.7)