Section : Estimation des caractéristiques d'un
Précédent : Exercice 1.
Suivant : Remarque.

Algorithme des innovations

Si $X$ est un processus faiblement stationnaire centré et régulier, sa décomposition de Wold s'écrit

$$X_t={\varepsilon}_t+\sum_{u=1}^{+\infty}{\psi}_u{\varepsilon}_{t-u}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc d'innovation. Les paramètres de cette décomposition sont les coefficients $({\psi}_u,u\geq1)$ et la variance ${\sigma}^2$ de ${\varepsilon}_t$. Pour les déterminer, il semble naturel de calculer ${\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{X_{t-1},X_{t-2},\ldots}(X_t)$, et d'en déduire

$${\sigma}^2 = \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits ({\varepsilon}_t)$$

$${\psi}_i = \mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_{t+i},{\varepsilon}_t)/{\sigma}^2$$

Or on ne peut calculer $P^\bot_{X_{t-1},X_{t-2},\ldots}(X_t)$, mais seulement les approximations $P^\bot_{X_{t-1},\ldots,X_{1}}(X_t)$ (grâce aux équations de Yule-Walker par exemple). Notons $\tilde{\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{X_{t-1},\ldots,X_{1}}(X_t)$ et $\tilde{\sigma}^2_t=\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (\tilde{\varepsilon}_t)$ . La famille $\left(\tilde{\varepsilon}_t/\tilde{\sigma}_t,t=1,\ldots,N\right)$ n'est autre que la base orthonormée de $V^2(X_t,t=1,\ldots,N)$ construite par le procédé de Schmidt. En particulier, on a la propriété :

$$\forall t=1,\ldots,N,\ \ V^2(X_1,\ldots,X_t)=V^2(\tilde{\varepsilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_t).$$

C'est l'analogue fini-dimensionnel de la propriété classique vérifiée par le bruit blanc d'innovation d'un processus ARMA (ou d'un processus faiblement stationnaire régulier) :

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ V^2(X_s,s\leq t)=V^2({\varepsilon}_s,s\leq t).$$

Posons pour tout $t=1,\ldots,N$

$${\psi}_{t,i}=\frac{\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_{t}... ...,\tilde{\varepsilon}_{t-i}\rangle}{\Vert\tilde{\varepsilon}_{t-i}\Vert^2_2}\ ;$$

alors ${\psi}_{t,0}=1$, et

$$X_t=\tilde{\varepsilon}_t+\sum_{i=1}^{t-1}{\psi}_{t,i}\tilde{\varepsilon}_{t-i}.$$

Rappelons que dans le cas d'un processus ARMA (ou d'un processus faiblement stationnaire régulier), de bruit blanc d'innovation ${\varepsilon}$, on a

$$X_t={\varepsilon}_t+\sum_{i=1}^{+\infty}{\psi}_{i}{\varepsilon}_{t-i},$$

avec

$${\psi}_{i}=\frac{\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_{t},{\varepsilon}_{t-i})}{{\sigma}^2}.$$

Section : Estimation des caractéristiques d'un
Précédent : Exercice 1.
Suivant : Remarque.