Section : Autocovariance et autocorrélation empiriques
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Exercice 1.

1) Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus stationnaire vérifiant

$$X_t={\varepsilon}_t+{\phi}X_{t-12}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc. Déterminer sa fonction d'autocorrélation. (On pourra établir une relation de récurrence entre ${\rho}_X(t)$ et ${\rho}_X(t+12)$, et la résoudre.)

2) Soit $x=(x_1,\ldots,x_N)$ une série temporelle dont la fonction d'autocorrélation estimée a l'allure suivante :

$$\hat{\rho}_x(12j)\approx(0,7)^j,\ \ j=0,1,\ldots$$ (31)

$$\hat{\rho}_x(12j\pm 1)\approx 0,4\times(0,7)^j,\ \ j=0,1,\ldots$$ (32)

$$\hat{\rho}_x(h)\approx 0$$ (33)

Proposer, en le justifiant, un modèle ARMA(12,1), pour cette série.