Section : Autocovariance et autocorrélation empiriques
Précédent : Remarque :
Suivant : Exercice 1.

Remarque :

Sous les hypothèses de la dernière assertion, on a en particulier que

$$\lim_{N\rightarrow +\infty}N\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimi... ...u=-\infty}^{+\infty}\bigl({\gamma}_X(u)^2+{\gamma}_X(u-h){\gamma}_X(u+h)\bigr)$$

ce qui implique la convergence en moyenne quadratique de $\hat{\gamma}_X^{(N)}(h)$ vers ${\gamma}_X(h)$.

L'estimateur empirique de l'autocorrélation est

$$\hat{\rho}^{(N)}_X(k)=\frac{\hat{\gamma}^{(N)}_X(k)}{\hat{\gamma}^{(N)}_X(0)}$$

L'estimateur $r_X^{(N)}$ de la fonction d'autocorrélation partielle est défini à partir des équations de Yule-Walker, où l'on a remplacé la fonction d'autocorrélation par son estimateur.

Théorème 3.II.5   Soit ${\varepsilon}$ un bruit blanc (au sens fort) tel que ${\mathbb{E}}[{\varepsilon}_t^4]=$cte$<+\infty$. Considérons ${\phi}(B)$ un filtre linéaire, ${\mu_X}$ une constante, et $X$ le processus stationnaire défini par $X={\mu_X}+{\phi}(B)({\varepsilon})$. Alors

• si $X$ est un MA($q$), $\sqrt{N}\hat{\rho}_X^{(N)}(k)$ converge en loi vers une gaussienne centrée de variance $1+2\sum_{u=1}^q{\rho}_X^2(u)$ pour tout $k>q$ ;
• si $X$ est un AR($p$), $\sqrt{N}\,\hat r_X^{(N)}(k)$ converge en loi vers une gaussienne centrée de variance $1$ pour tout $k>p$.

On déduit de ces comportements asymptotiques différents tests sur les paramètres du processus $X$.