Section : Autocovariance et autocorrélation empiriques
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Remarque :

Si la moyenne ${\mu_X}$ du processus $X$ est connue - en particulier si le processus est centré -, alors on définit plutôt $\hat{\gamma}_X^{(N)}$ et $\hat{\gamma}_X^{(N)}{}'$ par

$$\hat{\gamma}_X^{(N)}(h) = \frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N-h}(X_t-{\mu_X})(X_{t+h}-{\mu_X})$$

$$\hat{\gamma}_X^{(N)}{}'(h) = \frac{1}{N-h}\sum_{t=1}^{N-h}(X_t-{\mu_X})(X_{t+h}-{\mu_X})$$

Dans ce cas, $\hat{\gamma}_X^{(N)}{}'(h)$ est un estimateur sans biais de ${\gamma}_X(h)$.

Théorème 3.II.4   Soit $X$ un processus faiblement stationnaire tel que

1. ${\mathbb{E}}[X_t^4]=$cte$<+\infty$ ;
2. $\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_tX_{t+k},X_{t+m}X_{t+m+k})$ est indépendant de $t$ ;
3. $$\lim_{m\rightarrow +\infty}\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_tX_{t+k},X_{t+m}X_{t+m+k})=0$$ ;

alors $\hat{\gamma}_X^{(N)}(k)$ converge au sens hilbertien vers ${\gamma}_X(k)$ quand $N\rightarrow +\infty$. Si, en outre, $X$ est un processus gaussien, et si $$\sum_{t=0}^{+\infty}\vert{\gamma}_X(t)\vert<+\infty$$ , alors

$$\lim_{N\rightarrow +\infty}N\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimi... ...nfty}\bigl({\gamma}_X(u){\gamma}_X(u+h-k)+{\gamma}_X(u-k){\gamma}_X(u+h)\bigr)$$