Section : Estimation des caractéristiques d'un
Précédent : Démonstration du corollaire
Suivant : Démonstration du théorème

Autocovariance et autocorrélation empiriques

Plusieurs estimateurs empiriques peuvent être définis pour l'autocovariance d'un processus $X$ faiblement stationnaire. Le plus usuel est

$$\hat{\gamma}_X^{(N)}(h)=\left\{ \begin{array}{l} \displaysty... ...)\mbox{ si }0\leq h\leq N\ 0\mbox{ sinon} \end{array}\right.$$

En pratique, on évite de calculer $\hat{\gamma}_X^{(N)}(h)$ pour des valeurs de $h$ supérieures à $N/4$ (certains préconisent plutôt $10\ln_{10}N$).

On définit une variante de cet estimateur par

$$\hat{\gamma}_X^{(N)}{}'(h)=\left\{ \begin{array}{l} \display... ...)\mbox{ si }0\leq h\leq N\ 0\mbox{ sinon} \end{array}\right.$$

Théorème 3.II.3   Soit $X$ un processus faiblement stationnaire.

1. $(\hat{\gamma}_X^{(N)}(\vert h\vert),h\in{\mathbb{Z}})$ est de type positif.
2. Si de plus $$\sum_{t=0}^{+\infty}\vert{\gamma}_X(t)\vert<+\infty$$ , alors
   $$\displaystyle \lim_{N\rightarrow +\infty}N{\mathbb{E}}[\hat{\gamm... ...-\left({\gamma}_X(0)+2\sum_{t=1}^{+\infty}{\gamma}_X(t)\right)-h{\gamma}_X(h).$$
   Même résultat pour $\hat{\gamma}_X^{(N)}{}'(h)$.