Section : Algorithme des innovations
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Exercice 2.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus ARMA(1,1), vérifiant $X_t+{\phi}X_{t-1}={\varepsilon}_t+{\theta}{\varepsilon}_{t-1}$, avec ${\varepsilon}$ bruit blanc de variance ${\sigma}^2_{\varepsilon}$, et $\vert{\theta}\vert,\vert{\phi}\vert<1$.

1. On pose $\tilde{\varepsilon}_1=X_1$ et $\tilde{\varepsilon}_i=X_t-P^\bot_{V^2(1,X_1,\ldots,X_{t-1})}(X_t)$ quel que soit $t>1$. Montrer que pour tout $t>1$ il existe ${\theta}_{t,1}$ tel que
   $$X_t+{\phi}X_{t-1}=\tilde{\varepsilon}_t+{\theta}_{t,1}\tilde{\varepsilon}_{t-1}$$
2. En déduire la relation de récurrence
   $$\left\{\aligned {\delta}_1&=\frac{{\gamma}_X(0)}{{\sigma}^2_{\var... ... {\delta}_{t+1}&=1+{\theta}^2-{{\theta}^2\over {\delta}_t} \endaligned\right.$$
   avec ${\delta}_i={\mathbb{E}}[\tilde{\varepsilon}_{i}^2]/{\sigma}^2_{\varepsilon}$ .
3. Etablir une relation de récurrence simple définissant la suite $(\tilde{\varepsilon}_i)_{1\leq i\leq N}$.
4. (Question portant sur le chapitre suivant) Calculer formellement l'erreur de prédiction au pas $h$, puis en donner une approximation explicite en fonction de ${\theta}$ et ${\phi}$.