Section : Algorithme des innovations
Précédent : Exercice 2.
Suivant : Estimation des paramètres d'un

Exercice 3.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus ARMA($p,q$). On pose $\tilde{\varepsilon}_i=X_i-P^\bot_{V^2(1,X_1,\ldots,X_{i-1})}(X_i)$ .

1) On suppose $p=0$. Soit $({\psi}_{i,j})_{1\leq j<i\leq N}$ les coefficients déterminés par l'algorithme des innovations, tels que

$$X_i=\sum_{j=0}^{i-1}{\psi}_{i,j}\tilde{\varepsilon}_{i-j}$$

Montrer que ${\psi}_{i,j}=0$ si $j>q$.

2) On suppose maintenant $p\not=0$. On pose pour tout $i\in\{1,\ldots,N\}$

$$Y_i=\left\{\aligned &X_i\mbox{ si }i\leq\max(p,q)\ &{\phi}(B)(X)_i\mbox{ sinon.} \endaligned \right.$$

a) Montrer que $V^2(1,X_1,\ldots,X_i)=V^2(1,Y_1,\ldots,Y_i)$ quel que soit $i\in\{1,\ldots,N\}$.

b) Montrer que $\tilde{\varepsilon}_i=Y_i-P^\bot_{V^2(1,Y_1,\ldots,Y_{i-1})}(Y_i)$ quel que soit $i\in\{1,\ldots,N\}$.

c) En déduire une récursion simple pour le calcul des $\tilde{\varepsilon}_i$.