Section : Algorithme des innovations
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Démonstration du théorème

En vertu de la stationnarité faible de $X$, il est facile de vérifier l'égalité :

$$\left\Vert{\varepsilon}_N-\tilde{\varepsilon}_N\right\Vert_2 = \left\Vert P^\bot_{V^2(X_s,s<N)}(X_N)-P^\bot_{V^2(X_s,1\leq s<N)}(X_N)\right\Vert_2$$

$$= \left\Vert P^\bot_{V^2(X_s,s<0)}(X_0)-P^\bot_{V^2(X_s,-N\leq s<0)}(X_0)\right\Vert_2$$

Or $V^2(X_s,s<0)=\bigcup_{N>0}V^2(X_s,-N\leq s<0)$. D'après le corollaire , on en déduit que $P^\bot_{V^2(X_s,-N\leq s<0)}(X_0)$ converge au sens de la norme hilbertienne vers $P^\bot_{V^2(X_s,s<0)}(X_0)$ quand $N$ tend vers l'infini. On en déduit le premier point, à savoir

$$\lim_{N\rightarrow +\infty}\Vert{\varepsilon}_N-\tilde{\varepsilon}_N\Vert_2=0$$

Les deux autres limites en découlent, car $\tilde{\sigma}_N^2=\Vert\tilde{\varepsilon}_N\Vert_2^2$ a même limite que $\Vert{\varepsilon}_N\Vert_2^2={\sigma}^2$ ; d'autre part,

$$\left\vert\langle X_N,{\varepsilon}_N\rangle-\langle X_N,\tilde{\... ...{\varepsilon}_N-\tilde{\varepsilon}_N\Vert\rightarrow _{N\rightarrow +\infty}0$$

d'où il résulte que

$${\psi}_{N,i}=\frac{\langle X_N,\tilde{\varepsilon}_N\rangle}{\tilde{\sigma}_{N-i}}$$

converge vers

$$\frac{\langle X_N,{\varepsilon}_N\rangle}{{\sigma}}={\psi}_i$$

En pratique, le procédé d'orthonormalisation de Schmidt permet le calcul par récurrence de $(\tilde{\sigma}^2_t,t=1,\ldots,N)$ et de $({\psi}_{t,i}, 0\leq i\leq t\leq N)$ :

$${\psi}_{t,t-j} = {1\over \tilde{\sigma}^2_{j}}\bigl({\gamma}_X(t-j)-\sum_{u=1}^{j-1}{\psi}_{t,t-u}{\psi}_{j,j-u}\tilde{\sigma}^2_{u}\bigr),\ j=1,...,t$$

$$\tilde{\sigma}^2_{t} = {\gamma}_X(0)-\sum_{u=1}^{t-1}{\psi}_{t,t-u}^2\tilde{\sigma}^2_{u}$$

avec $\tilde{\sigma}^2_1={\gamma}_X(0)$. Cette méthode porte en statistique des processus le nom d'algorithme des innovations. En remplaçant dans l'algorithme précédent la fonction d'autocovariance ${\gamma}_X$ par son estimateur $\hat{\gamma}_X^{(N)}$, on définit les estimateurs $\hat{\psi}_{t,i}^{(N)}$ et $\hat{\sigma}_t^{2(N)}$.

Théorème 3.II.7   Si $X$ est un processus ARMA, dont l'innovation ${\varepsilon}$ est un bruit blanc au sens fort, possédant un moment d'ordre 4, alors, en reprenant les notations précédentes, pour tout $k\geq1$ et pour toute suite d'entiers positifs $(m_N,N\geq1)$ telle que $m_N<N$, $\lim_{N\rightarrow +\infty} m_N=+\infty$ et $\lim_{N\rightarrow +\infty}\frac{m_N}{N^{1/3}}=0$, le vecteur aléatoire

$$\sqrt{N}\,{}^t(\hat{\psi}_{m_N,1}^{(N)}-{\psi}_1,\ldots,\hat{\psi}_{m_N,k}^{(N)}-{\psi}_k)$$

converge en loi vers un vecteur gaussien centré de matrice de covariance $A=(a_{i,j})_{i,j=1\ldots,k}$ telle que $a_{i,j}=\sum_{u=1}^{\min(i,j)}{\psi}_{i-u}{\psi}_{j-u}$. De plus, $\hat {\sigma}_{m_N}^{2(N)}$ converge en probabilité vers ${\sigma}^2$.

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