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Définitions :

Soit $(E,\langle.,.\rangle)$ un espace préhilbertien.

• Deux vecteurs $x,y\in E$ sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
• Soit $A\subset E$. L'orthogonal de $A$, noté $A^\bot$, est l'ensemble des vecteurs de $E$ orthogonaux à tous les éléments de $A$. C'est un sous-espace vectoriel fermé de $E$. Si $B\subset A$, alors $A^\bot\subset B^\bot$.
• Un endomorphisme $\P$ de $E$ est appelé projecteur linéaire s'il vérifie $P\circ P=P$. Il est caractérisé par son noyau (la direction de la projection) et son image (le sous-espace sur lequel on projette), qui sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires. Restreint à son image, c'est l'identité.
• Un endomorphisme ${\varphi}$ de $E$ est dit auto-adjoint si et seulement si
  $$\forall x,y\in E,\ \ \langle {\varphi}(x),y\rangle=\langle x,{\varphi}(y)\rangle.$$

Théorème 5.II.1  

• Soit $F$ une partie fermée, convexe, non vide d'un espace de Hilbert $E$. Alors, pour tout $x\in E$, il existe un unique point $y\in F$ tel que
  $$\Vert x-y\Vert_2=\inf_{z\in F}\Vert x-z\Vert_2$$
  On note ce point $P^\bot_F(x)$. L'application $P^\bot_F$ est appelée projection orthogonale sur $F$. C'est une application contractante. Quel que soit $x\in E$, $P^\bot_F(x)=x$ si et seulement si $x\in F$.
• Si $F$ est un sous-espace vectoriel fermé de $E$, alors $P^\bot_F$ est une application linéaire de $E$ sur $F$. Pour tout $x\in E$, $P^\bot_F(x)$ est l'unique élément $y\in{\mathbb{E}}$ tel que

  $$y\in F\ \ x-y\in F^\bot$$ (51)

  
  

Corollaire 5.II.2   Avec les mêmes notations :

• Si $F$ est un sous-espace vectoriel fermé de $E$, alors $P^\bot_F$ est un projecteur auto-adjoint, dit aussi projecteur orthogonal. De plus, $I_d-P^\bot_F=P^\bot_{F^\bot}$.
• Si $F\subset G$ sont deux sous-espaces vectoriels fermés de $E$, alors
  $$P^\bot_F\circ P^\bot_G=P^\bot_G\circ P^\bot_F=P^\bot_F.$$
• Soit $(E_n,n\in {\mathbb{N}})$ une famille croissante de sous-espaces de Hilbert. On note $E_{\infty}$ l'espace vectoriel engendré par $\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}E_n$ et fermé pour la norme hilbertienne. Alors,
  $$\forall x\in E,\ \ \Vert P^\bot_{E_\infty}(x)-P^\bot_{E_n}(x)\Vert_2\xrightarrow[ n\rightarrow +\infty]{} 0$$

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