Section : Projecteurs orthogonaux
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Exemples :

1. Soit $({\Omega},{\cal F},\P)$ un espace de probabilité, et $X_1,\ldots,X_d$ des variables aléatoires réelles. Alors le projecteur orthogonal de $L^2({\Omega},{\cal F},\P)$ sur $L^2(X_1,\ldots,X_d)$ est l'espérance conditionnelle ${\mathbb{E}}[.\vert X_1,\ldots,X_d]$ :
   $$\forall Y\in L^2({\Omega},{\cal F},\P),\ \ P^\bot_{L^2(X_1,\ldots,X_d)}(Y)={\mathbb{E}}[Y\vert X_1,\ldots,X_n]\ \P$$ -p.s.
   En effet, on vérifie aisément le critère () du théorème :
   • ${\mathbb{E}}[Y\vert X_1,\ldots,X_d]$ est $\P$-p.s. une fonction de carré intégrable de $X_1,\ldots,X_d$, et appartient donc à $L^2(X_1,\ldots,X_d)$ ;
   • quel que soit $Z=f(X_1,\ldots,X_d)$,
     

     $$\langle Z,Y-{\mathbb{E}}[Y\vert X_1,\ldots,X_d]\rangle = {\mathbb{E}}\left[f(X_1,\ldots,X_d)\left(Y-{\mathbb{E}}[Y\vert X_1,\ldots,X_d]\right)\right]$$

     $$= {\mathbb{E}}\left[f(X_1,\ldots,X_d){\mathbb{E}}\left[Y-{\mathbb{E}}[Y\vert X_1,\ldots,X_d]\vert X_1,\ldots,X_d\right]\right]$$

     $$= {\mathbb{E}}\left[f(X_1,\ldots,X_d)\times 0\right]=0$$

     
     Donc $Y-{\mathbb{E}}[Y\vert X_1,\ldots,X_d]$ appartient à l'orthogonal de $L^2(X_1,\ldots,X_d)$.
2. Si $d=1$ et $X_1=1$, alors $V(X_1)=L^2(X_1)={\mathbb{R}}$, et $P^\bot_{{\mathbb{R}}}(.)={\mathbb{E}}[.]$.
3. Soient $(X_1,\ldots,X_d)$ un $d$-uplet de variables aléatoires de carré intégrable, et $Y\in L^2({\Omega},{\cal F},\P)$ quelconque. Alors
   1. $P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)=Y$ si et ssi il existe ${\alpha}_0,\ldots,{\alpha}_d$ tels que $Y={\alpha}_0+{\alpha}_1X_1+\cdots+{\alpha}_dX_d$.
   2. ${\mathbb{E}}[P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)]={\mathbb{E}}[Y]$ car
      $${\mathbb{E}}[P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)]=P^\bot_{V(1)}\circ P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)=P^\bot_{V(1)}(Y)={\mathbb{E}}[Y].$$
   3. $\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits \left(Y-P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y),X_i\right)=0$ $\forall i=1,\ldots,d$, car
      $$\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits \left(Y-P^\bot_{V(1,X_1,\... ...)}(Y)\right)X_i\right]=\langle Y-P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y),X_i\rangle=0.$$
   4. $P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)={\mathbb{E}}[Y]$ si et ssi $\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (Y,X_i)=0\ \ \forall i=1,\ldots,d$ . En effet,
      

      $$P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)-{\mathbb{E}}[Y] = P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)-P^\bot_{V(1)}(Y)$$

      $$= P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)-P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}\circ P^\bot_{V(1)}(Y)$$

      $$= P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y-{\mathbb{E}}[Y])\ ;$$

      
      il en résulte :
      

      $$P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)}(Y)-{\mathbb{E}}[Y]=0 \Longleftrightarrow Y-{\mathbb{E}}[Y]\in Ker(P^\bot_{V(1,X_1,\ldots,X_d)})$$

      $$\Longleftrightarrow Y-{\mathbb{E}}[Y]\in V(1,X_1,\ldots,X_d)^\bot$$

      $$\Longleftrightarrow {\mathbb{E}}[1(Y-{\mathbb{E}}[Y])]={\mathbb{E}}[X_i(Y-{\mathbb{E}}[Y])]=0\ \ \forall i=1,\ldots,d$$

      $$\Longleftrightarrow \mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (Y,X_i)=0\ \ \forall i=1,\ldots,d.$$

      
      

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