Section : Martingales
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Transformées de martingales

Sur l'espace filtré $(\Omega , {\cal F}_n , \textbf{P})$ , on se donne pour $0\leq n\leq N$ :

• une suite $(M_n)$ adaptée à ( ${\cal F}_n$)
• une suite prévisible $(U_n)$

Introduisons d'autre part la notation suivante : si $(X_n\;;\;0\leq n\leq N)$ est une suite de v.a.r. , on désignera par $(\Delta X_n \;;\;1\leq n\leq N)$ la suite des accroissements de ($X_n$) définie par

$$\Delta X_n=X_n-X_{n-1}.$$

On peut reconstituer ($X_n$) connaissant la suite de ses accroissements et sa valeur initiale : on a de manière évidente ,

$$X_n=X_0+\sum_{k=1}^{k=n}\Delta X_k .$$ (3.2)

On notera qu'une suite adaptée $(M_n)$ est une martingale si et seulement si

$$\textbf{E}[\Delta M_n\vert {\cal F}_{n-1}]=0\;\; \forall n\geq 1$$ (3.3)