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Premiers exemples

1. Sommes de v.a.r. centrées indépendantes : Soit ( $X_0,X_1,X_2,...,X_N$) une suite de v.a.r. centrées indépendantes ; posons $S_n=X_0+X_1+X_2+...+X_n\; ; \;\;{\cal F}_n={\cal F}(X_0,X_1,X_2,...,X_n)$ ; je dis que $(S_n)$ est une martingale , en effet , puisque $X_{n+1}$ est indépendante de ${\cal F}_n$ ,
   $$\textbf{E}[S_{n+1}\vert {\cal F}_n]=X_0+X_1+...+X_n+\textbf{E}[X_{n+1}\vert {\cal F}_n]=S_n+\textbf{E}[X_{n+1}]=S_n$$
   Supposons de plus les v.a. $X_n$ équidistribuées ; elles ont alors toutes la même variance que nous appellerons $\sigma ^2$ ; dans cette situation , $S_n^2-(n+1) \;\sigma ^2$ est aussi une martingale comme le prouve le petit calcul suivant :
   $$\textbf{E}[S_{n+1}^2\vert {\cal F}_n]=\textbf{E}[(S_n+X_{n+1})^2\... ...{\cal F}_n]=S_n^2+2S_n\textbf{E}[X_{n+1}]+\textbf{E}[X_{n+1}^2]=S_n^2+\sigma ^2$$
   d'où il résulte aisément que
   $$\textbf{E}[S_{n+1}^2-(n+2)\sigma ^2\vert {\cal F}_n]=S_n^2-(n+1)\sigma ^2$$
   
   
2. Martingales produit: Soit ( $T_0,T_1,T_2,...,T_N$) , une suite de v.a. positives , indépendantes , d'espérance $1$ ; la suite $M_n=T_0T_1T_2...T_n$ est alors une martingale par rapport à la filtration naturelle engendrée par les v.a. $T_n$ . En effet ,
   $$\textbf{E}[M_{n+1}\vert {\cal F}_n]=T_0T_1...T_n \textbf{E}[T_{n+1}]=M_n$$

Il y a d'autres exemples de martingales intéressantes associées à des suites indépendantes, mais ce n'est pas là le plus important ; le succès de cette théorie est dû au fait qu'elle permet d'aller très au delà de l'indépendance : un certain nombre de transformations simples détruisent en effet celle ci tout en préservant la propriété de martingale ; nous allons étudier deux d'entre elles .

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