Section : Martingales
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Premières propriétés

Soit $(M_n)$ une martingale ;

1. Si $n\leq n+p\leq N \;\;, \;\textbf{E}[M_{n+p}\vert {\cal F}_n]=M_n$ , en particulier $M_n=\textbf{E}[M_N\vert {\cal F}_n]$
2. Si $\phi :{\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}}$ est convexe , ( $\phi (M_n)$) est une sousmartingale ; c'est en particulier le cas pour $\vert M_n\vert \;\; et \;\;M_n^2$
3. Une combinaison linéaire d'une famille finie de martingales est une martingale .
4. $\textbf{E}[M_n]=\textbf{E}[M_0]\;\;\;\forall n$ ; on retiendra que $\textbf{E}[M_n]$ ne dépend pas de $n$

   Le premier point résulte immédiatement de () ; on a en effet

   $$\textbf{E}[M_{n+2}\vert {\cal F}_n]=\textbf{E}[M_{n+2}\vert {\cal F}_{n+1}\vert {\cal F}_n]=\textbf{E}[M_{n+1}\vert {\cal F}_n]=M_n ,$$
   d'où le résultat annoncé par récurrence.
   Le second est une conséquence de l'inégalité de convexité () ; on a en effet
   $$\textbf{E}[\phi(M_{n+1})\vert {\cal F}_n ]\geq \phi (\textbf{E}[M_{n+1}\vert {\cal F}_n])=\phi (M_n) ,$$
   le troisième est évident ; si vous ne savez pas montrer le quatrième , c'est qu'un point important, (sans doute ()), vous a échappé ; il est plus que temps d'y remédier .