Section : Conditionnement par une algèbre
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Définition:

Soient $X$ une v.a.r. et $\cal F$ l'algèbre engendrée par une partition $\cal P$ de $\Omega$ . On appellera espérance (conditionnelle) de $X$ quand $\cal F$ la variable aléatoire notée $\textbf{E}[X\vert \cal F]$ définie par

$$\textbf{E}[X\vert {\cal F}]=\sum_{B\in \cal P}\textbf{E}[X\vert B]1_B$$

On notera que $\textbf {E}[X\vert{\cal F}(Z)]$ est égale à la v.a. $\textbf {E}[X\vert Z]$ introduite en 2.2.1. Voici maintenant les propriétés les plus importantes de l'espérance conditionnelle.

1. Linéarite et positivité Appelons $\cal V$ l'espace vectoriel (de dimension $\vert\Omega\vert$) des variables aléatoires réelles; $X\mapsto \textbf{E}[X\vert \cal F]$ definit alors une application linéaire et positive de $\cal V$ dans le sous espace (de dimension $\vert\cal P\vert$) formé par les v.a.r. $\cal F$-mesurables .
2. Inegalité de convexité Soit $u : {\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}}$ une application convexe ; on a l'inégalité

   $$\textbf{E}[u(X)\vert {\cal F}]\geq u(\textbf{E}[X\vert {\cal F}])$$ (2.16)

   
   En particulier ,

   $$\textbf{E}[\vert X\vert \vert {\cal F} ]\geq \vert \textbf{E}[X\vert \cal F]\vert$$ (2.17)

   
   

   $$\textbf{E}[X^2\vert {\cal F}]\geq \textbf{E}[X\vert {\cal F}]^2 .$$ (2.18)

   
   Démonstration Soit $B\in \cal P$ . La variable aléatoire figurant au premier membre de () est égale sur $B$ à $\textbf{E}[u(X)\vert B]$ et le second membre à $u(\textbf{E}[X\vert B])$ ; on termine la démonstration en appliquant l'inégalité de convexité à la probabilité $\textbf{P}_B$ introduite en 2.1
   
3. Une caractérisation fondamentale: $\textbf{E}[X\vert \cal F]$ est l'unique v.a.r. vérifiant les 2 propriétés suivantes :
   a) $Y$ est $\cal F$-mesurable b) $\forall F\in {\cal F} , \;\; \textbf{E}[X1_F]=\textbf{E}[Y1_F]$
   Laissant au lecteur le soin de démontrer la partie directe, nous nous bornerons à montrer qu'une v.a.r. $Y$ satisfaisant aux points a) et b) est nécessairement égale a $\textbf{E}[X\vert \cal F]$
   En vertu de a), il existe une famille de scalaires $(c_A ; A\in \cal P)$ telle que $Y=\sum_{A\in {\cal P}}c_A1_A$ ; l'égalité b) , applquée à un événement $B$ de $\cal P$ permet de calculer $c_B$ ; on a en effet : $\textbf{E}[Y1_B]=c_B\textbf{P}B$ ce qui entraine $c_B=\textbf{E}[X\vert B]$ ; c'est le résultat cherché .
   Remarque: On peut remplacer b) par
   b') : $\forall Z \;\;\;\cal F-$ mesurable, $\textbf{E}[XZ]=\textbf{E}[YZ]$ ;
   (on utilise simplement le fait que $Z$ est une combinaison linéaire d'indicateurs d'atomes et la linéarite de l'espérance .)
4. Conditionnements successifs : Soient $\cal F$ et $\cal G$ deux algèbres avec ${\cal F}\supset \cal G$ ; on a alors,
   quelquesoit la v.a.r. $X$ ,

   $$\textbf{E}[X\vert {\cal F}\vert {\cal G}]=\textbf{E}[X\vert {\cal G}]\;\;\; ; \;\;\;\;\textbf{E}[\textbf{E}[X\vert {\cal F}]]=\textbf{E}[X]$$ (2.19)

   
   

   Il nous suffira de montrer la première égalité ; les premiers et second membres de celle-ci , que nous appellerons respectivement $U\, \mathrm{et}\, V$ étant $\cal G$-mesurables, tout revient à montrer les égalités

   $$\textbf{E}[U1_G]=\textbf{E}[V1_G]\;\;\;\forall G \in \cal G.$$
   Mais $\textbf{E}[U1_G]=\textbf{E}[\textbf{E}[X\vert {\cal F} ]1_G]=\textbf{E}[X1_G]$ , la deuxième égalite venant du fait que $G\in \cal F$ . Retenons une conséquence pratique de ce résultat : avec les notations de 2.3.1. , on a par exemple
   $$\textbf {E}[X\vert Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{N}\vert Z_{1}, Z_{2}]=\textbf {E}[X\vert Z_{1} , Z_{2}]$$
5. Si $Y$ est $\cal F$-mesurable , $\textbf{E}[Y\vert {\cal F}]=Y$ ; plus généralement, quelquesoit la v.a.r $X$,

   $$\textbf{E}[XY\vert {\cal F}]=Y\textbf{E}[X\vert {\cal F}] .$$ (2.20)

   
   Démonstration : Désignant par $U et V$ les deux membres de (10) , nous avons à montrer que
   $$\textbf{E}[U1_B]=\textbf{E}[V1_B]\;\;\forall B\in \cal F .$$
   Vous laissant calculer le premier membre, notons que $\textbf{E}[V1_B]=\textbf{E}[(Y1_B)\textbf{E}[X\vert {\cal F}]]=\textbf{E}[XY1_B]$ en vertu de 3.b') .
   Voici maintenant une généralisation souvent utilisée de l'égalité () . Les hypothèses sont les suivantes : $X$ et $Y$ sont deux v.a. à valeurs respectives dans $E$ et $F$ , u est une fontion numérique sur $E\times F$ ; on suppose $Y \;\;\cal F$-mesurable ; si l'on pose $H(\omega ,y)=\textbf{E}[f(X,y)\vert {\cal F}](\omega )$ on a :

   $$\textbf{E}[f(X,Y)\vert {\cal F}](\omega )=H(\omega ,Y(\omega))$$ (2.21)

   
   Démonstration : Montrons tout d'abord que la v.a. figurant au second membre de () , (que nous noterons suivant l'usage des probabilistes , $H(.,Y)$) est $\cal F$-mesurable ; choisissons pour cela un atome $B$ de $\cal F$, désignons par $y$ et par $c$ les valeurs (constantes) prises respectivement par $Y \mathrm{et} \;\textbf{E}[f(X,y)\vert {\cal F}]$ sur $B$ ;on voit, en regardant sa définition, que $H(.,Y)$ est égale à la constante $c$ sur $B$ ; elle est donc $\cal F$-mesurable ; en outre , on peut écrire:
   $$\textbf{E}[1_BH(.,Y)]=\textbf{E}[1_BH(.,y)]=\textbf{E}[1_B\textbf{E}[f(X,y)\vert {\cal F} ]]=\textbf{E}[1_Bf(X,y)]=\textbf{E}[1_Bf(X,Y)] ,$$
   ce qui montre l'égalité () .
6. Si $X$ est indépendante de $\cal F$ , la variable aléatoire $\textbf{E}[X\vert \cal F]$ se réduit à une constante ; plus précisement:

   $$\textbf{E}[X\vert {\cal F}]=\textbf{E}[X]$$ (2.22)

   
   Dans ce cas , la formule () se simplifie ainsi : si l'on pose $h(y)=\textbf{E}[f(X,y)]$ , on a, en appliquant () et (),

   $$\textbf{E}[f(X,Y)\vert {\cal F}]=h(Y)$$ (2.23)

   
   

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