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Lois conditionnelles

Dans ce paragraphe , $X$ désignera une variable aléatoire à valeurs dans $E$ .

1. Conditionnement par une algèbre: Soit ${\cal F}$ une algèbre (engendrée par une partition ${\cal P}$ ) ; si $x\in E$ , on posera
   $$\Pi _X(x\vert {\cal F})=\textbf{P}[\{X=x\}\vert {\cal F}]=\textbf{E}[1_{\{X=x\}}\vert {\cal F}]$$
   (Bien noter qu'il s'agit d'égalités entre variables aléatoires ${\cal F}$-mesurables) . Les v.a. $\Pi_X(x\vert {\cal F})$ possèdent les 2 propriétés suivantes resultant immédiatement de ce que nous avons vu en 2.3.3
   1. $\forall x\in E \hspace{2cm}\Pi _X(x\vert {\cal F})$ est ${\cal F}$-mesurable et $\geq 0$
   2. $\forall \omega \in \Omega \hspace{2cm}\sum_{x\in E}\Pi_X(x\vert {\cal F})=\textbf{E}[1_\Omega\vert {\cal F}]=1$

   Pour y voir plus clair, notons provisoirement $Q$ la fonction de 2 variables définie par $Q(x,\omega )=\Pi_X(x\vert {\cal F})(\omega )$ ; les propriétés (a) et (b) s'expriment sur $Q$ de la façon suivante:

   1. $\forall x\in E\hspace{2cm}\omega \mapsto Q(x,\omega )$ est ${\cal F}$-mesurable et $\geq 0$
   2. $\forall \omega \in \Omega \hspace{2cm}x\mapsto Q(x,\omega )$ est une probabilité sur $E$
   Cette fonction $Q$ , que l'on notera $\Pi_X(.\vert {\cal F})$ sera appelée loi conditionnelle de $X$ quand $\cal F$ . On se rappellera qu'il s'agit , (cf (b)) , d'une famille de lois de probabilité sur $E$ indexée par $\Omega$
2. Conditionnement par une variable aléatoire Soit $Z$ une variable aléatoire à valeurs dans $F$ ; on supposera comme d'habitude que $Z(\Omega)=F$ . La loi conditionnelle de $X$ quand $Z$ sera par définition $\Pi_X(.\vert {\cal F}(Z))$ . Cet objet est donc , comme au point 1. précédent dont nous reprenons les notations, une fonction $Q$ des 2 variables (x,$\omega$ ) ; mais d'après (b) , et compte tenu de
   2.3.2 , il existe $q:E\times F\mapsto [0\;\;\; 1]$ telle que $Q(x,\omega )=q(x,Z(\omega ))$ , $q$ se calculant très simplement par la formule $q(x,z)=\textbf{P}[X=x\vert Z=z]$ ; on a donc l'égalite $\Pi_{(X,Z)}(x,z)=q(x,z)\Pi_Z(z)$ qui permet de montrer de facon élémentaire une relation que vous avez sans doute déjà vue dans votre jeunesse:
   $$\textbf{E}[f(X,Z)]=\sum_{z\in F}\Pi_Z(z)\sum_{x\in E}f(x,z)q(x,z)$$
   On peut retrouver cette formule par une voie plus abstraite , (ce que je vous conseille de faire pour vous habituer au maniement des espérances conditionnelles ) ; c'est une conséquence simple de l'égalité $\textbf{E}[f(X,Z)]=\textbf{E}[\textbf{E}[f(X,Z)\vert Z]\,]$ et de () .
3. Lois conditionnelles et indépendance : On a vu en () que l'indépendance d'un couple ($X,Z$) de v.a.r. entrainait l'égalité $\textbf{E}[X\vert Z]=\textbf{E}[X]$ ; la réciproque est grossièrement inexacte (trouver un contre-exemple) ; il existe en revanche une condition nécessaire et suffisante d'indépendance en termes de loi conditionnelle ; on a le résultat suivant :
   $X$ et $Z$ sont indépendantes si et seulement si $\Pi_X(.\vert Z)=\Pi_X$
   
   Cette égalité signifie que la famille de probabilités indexée par $\Omega$ figurant au premier membre est en réalité réduite à la seule loi marginale de $X$ . La démonstration de ce résultat,très simple, est laissée au lecteur .

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