Section : Algèbres et partitions
Précédent : Lois conditionnelles
Suivant : Proriétés markoviennes d'une marche

Exercice

1. Conditionnement d'une loi multinomiale . Soient $p$ et $q$ deux entiers $>0\;et\; \alpha _1, \alpha _2, ..., \alpha _q\;\\ q \;reels >0$ ; on pose $H=\{k\in \{0,1,,...,p\}^q\;\vert \; k_0+ k_1+k_2+...+k_q=p\}$ ; On dit qu'une v.a.
   $Z=(Z_1,Z_2,...Z_q)$ à valeurs dans $\{0,1,2,...,p\}^q$ est multinomiale de parametres $(\alpha _1, \alpha _2, ..., \alpha _q , p , q)$ (cf 1.2.6) si elle admet pour loi la probabilité sur $\{0,1,...,p\}^q$ , portée par $H$ définie par
   $$\textbf{P}[Z_1=k_1;Z_2=k_2;...Z_q=k_q]=\frac {p!}{k_1!k_2!...k_q!}\alpha _1^{k_1}\alpha _2^{k_2}...\alpha _q^{k_q}\;\;\;\;\forall k\in H$$
   Soit $Z$ une telle variable aléatoire ; montrer que la loi conditionnelle de ( $Z_1,Z_2,...,Z_{q-1}$) quand $Z_q$ est la loi multinomiale de paramètres ( $\frac{n_1}{n-n_q} ,\frac{n_2}{n-n_q} ,..., \frac{n_{q-1}}{n-n_q}\;\;\;,p-Z_q\;\;\;,q-1$ ) ; on notera que le support de cette loi conditionnelle est aléatoire .
2. Sans titre Soit $(X_1,X_2,...,X_n)$ une suite de $n$ variables aléatoires réelles, indépendantes, equidistribuées ; on pose $S_n=X_1+X_2+...X_n$ ;
   1. Soit $f : {\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}}$ ; montrer que $\textbf{E}[X_1f(S_n)]=\textbf{E}[X_2f(S_n)]=...=\textbf{E}[X_nf(S_n)]$
   2. En déduire que $\textbf{E}[X_1\vert S_n]={S_n\over n}$