Section : Définition:
Précédent : Un week-end à Monte
Suivant : Sur la propriété de

Théorème

Sur un espace filtré ( $\Omega\;,({\cal F}_n)\;,\textbf{P}$) soient ($M_n$) une martingale (resp. une sur ou une sous-martingale) et ($U_n$) une suite prévisible (resp. une suite prévisible positive) ; $(U*M)_n$ est alors une martingale (resp. une sur ou une sous-martingale).

Démonstration: Bornons nous au cas des martingales et posons $M'_n=(U*M)_n$ ;on a $\Delta M'_n=U_n\Delta M_n$ d'où , en utilisant la prévisibilité de $(U_n)$ ,

$$\textbf{E}[\Delta M'_n\vert {\cal F}_{n-1}]=U_n\textbf{E}[\Delta M_n\vert {\cal F}_{n-1}]=0$$