Section : Transformées de martingales
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Sur la propriété de représentation prévisible

Soient ( $0=M_0,M_1,...,M_N$) une martingale , ( ${\cal F}_n$) sa filtration naturelle ; on dira que $(M_n)$ possède la propriété de représentation prévisible si, quelque soit la ( ${\cal F}_n$)-martingale $(Z_n)$ , il existe une constante $c$ et un processus prévisible $U_n$ tels que $(Z_n) = c+(U*M)_n\;\;\; \forall n$.

Nous retrouverons cette propriété dans les prochains chapitres sous le nom de marchés complets; pour l'instant , nous allons simplement nous demander s'il existe de telles martingales ; les résultats qui vont suivre montrent , que dans notre cadre discret il en existe , certes , mais très peu , (contrairement aux modèles à temps continu où beaucoup de martingales fondamentales possèdent la p.r.p.).
Soit $(\epsilon _1,\epsilon _2,...,\epsilon _N)$ une suite de v.a.r. indépendantes , équidistribuées , centrées ; posons $\epsilon _0=0$ et appelons $({\cal F}_n)$ la filtration naturelle engendrée par cette suite ; considérons la martingale
$M_n= (\epsilon _0+\epsilon _1+...+\epsilon _n)$ . Pour éviter les trivialités , nous supposerons $\epsilon _1$ non dégénérée . Les filtrations naturelles engendrées par les suites $(M_n)$ et $(\epsilon _n)$ sont identiques, comme on peut le vérifier à titre d'exercice.