Section : Sur la propriété de
Précédent : Sur la propriété de
Suivant : Temps d'arrêt

Proposition :

$(M_n)$ possède la propriété de représentation prévisible si et seulement si $\epsilon _1$ prend ses valeurs dans un ensemble réduit à 2 points .

Démonstration : Soient $a \;\mathrm{et}\; b >0$ ; supposons tout d'abord que $\epsilon _1$ prenne ses valeurs dans $\{-a,b\}$ et montrons que $(M_n)$ possède alors la p.r.p. ; posons

$$p=\textbf{P}[\epsilon _1=b]\;\;, \;q=1-p=\textbf{P}[\epsilon _1=-a].$$

Puisque $\epsilon _1$ est centrée, $0=pb-(1-p)a$ d'où $p=\frac{a}{a+b} \;, \;\;q=\frac{b}{a+b} \;\;,\;\;\frac{p}{q} =\frac{a}{b}$ .
Considérons maintenant une v.a.r. $F_n \;\;{\cal F}_n$-mesurable verifiant $\textbf{E}[F_n \vert {\cal F}_{n-1}]=0$ ; nous allons montrer qu'il existe $\gamma _n\;\;\;{\cal F}_{n-1}$-mesurable telle que $F_n=\gamma _n \epsilon _n$ ; d'après la proposition 2.3.2 , il existe une fonction numérique $f_n$ sur ${\mathbb{R}}^{n+1}$ (c'est à dire une fonction réelle de $n+1$ variables réelles) telle que $F_n=f_n(\epsilon _0,\epsilon _1 ,\epsilon _2 ,...,\epsilon _n )$ . Comme $\epsilon _n$ est indépendante de ${\cal F}_{n-1}$ , l'espérance conditionnelle $\textbf{E}[F_n \vert {\cal F}_{n-1}]$ se calcule à l'aide de la formule () de sorte que l'on a l'égalité $pf_n(\epsilon _0,\epsilon _1 ,...,\epsilon _{n-1} , b)+qf_n(\epsilon _0,\epsilon _1,...\epsilon _{n-1}, -a)=0$ d'où l'on tire $f_n(\epsilon _0,...,\epsilon _{n-1},-a)=-\frac{a}{b} f_n(\epsilon _0 ,...,\epsilon _{n-1},b)$ .
On peut alors écrire

$$F_n = f_n(\epsilon _0,\epsilon _1,...,\epsilon _{n-1},b)1_{\{\epsilon _n=b\}}+f_n(\epsilon_0,\epsilon _1,...,\epsilon _{n-1},-a)1_{\{\epsilon _n=-a\}}$$

$$= {f_n(\epsilon _0,\epsilon _1,...,\epsilon _{n-1},b) \over b}(b1_{\{\epsilon _n=b\}}-a1_{\{\epsilon =-a\}})$$

$$= \frac{f_n(\epsilon _0,\epsilon _1,...,\epsilon _{n-1},b)}{b}\epsilon _n=\gamma _n \epsilon _n$$

quand on a posé $\gamma _n=\frac{f_n(\epsilon _0,\epsilon _1,...,\epsilon _{n-1},b)}{b}$ ; cela démontre notre assertion . Considérons maintenant une martingale $(N_n)$ ; appliquant ce qui précède à $F_n=\Delta N_n$, il vient $N_n=N_0+\sum_1^n \gamma _k\epsilon _k$. Il reste simplement à remarquer que $N_0$ , qui est ${\cal F}_0$-mesurable , est une constante réelle.
Passons à la réciproque ; posons $\textbf{E}[\epsilon _1^2]=\textbf{E}[\epsilon _k^2 ]=\sigma ^2$ . Comme la suite
$(\epsilon _k^2-\sigma ^2 ; k=1,2,...,N)$ est formée de v.a. indépendantes et centrées , $\sum_1^n(\epsilon _k^2-\sigma ^2)$ est une martingale nulle à l'origine ; par hypothèse , il existe une suite $(\gamma _n)$ prévisible telle que

$$\sum_{k=1}^{k=n}(\epsilon _k^2-\sigma ^2)=\sum_{k=1}^{k=n}\gamma _k\epsilon _k\;\;\;\; \forall n\in \{1,2,...,N\}$$

Il en résulte que $\forall n \geq1\;\;,\;\;\epsilon_n^2-\sigma ^2=\gamma _n\epsilon _n$ ; puisque $\sigma ^2$ est $>0$, cela entraîne d'abord $\epsilon _n(\omega)\not=0\;\;\;\forall \omega$ ; d'autre part , puisque $\frac {\epsilon _n^2-\sigma ^2}{\epsilon _n}$ est ${\cal F}_{n-1}$ -mesurable , on a

$$\frac{\epsilon _n^2-\sigma ^2}{\epsilon _n}=\textbf{E}[\frac{\eps... ...sigma ^2}{\epsilon _n}]=\textbf{E}[\frac{\epsilon _1^2-\sigma ^2}{\epsilon _1}]$$

Appelant $C$ la constante figurant au dernier membre de cette chaine d'égalités , on voit que $\epsilon _n^2-C\epsilon _n-\sigma ^2=0 \;\;\forall n\geq 1$. Il en résulte que $\epsilon _n$ prend ses valeurs dans l'ensemble à 2 points constitué par les racines du trinôme $x^2-Cx-\sigma ^2$ .

Section : Sur la propriété de
Précédent : Sur la propriété de
Suivant : Temps d'arrêt