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Viabilité et complétude de ce marché

Soit P une probabilité quelconque sur $\Omega$ ; examinons à quelles condiditions la suite $(\tilde S_n)$ est une martingale sous P . On a

$$\textbf{E}[\tilde S_{n+1}\vert {\cal F}_n]=\beta_{n+1}\textbf{E}[... ...vert {\cal F}_n]=\frac{1}{1+r}\tilde S_n \textbf{E}[T_{n+1}\vert {\cal F}_n] ,$$

de sorte qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est : $\textbf{E}[T_{n+1}\vert {\cal F}_n ]=1+r$ ; Il en résulte (prendre l'espérance des 2 membres) , que $\textbf{E}[T_n]=1+r$ . Puisque

$$1+a<(1+a)\textbf{P}[T_n =1+a]+(1+b)\textbf{P}[T_n=1+b] = 1+r<1+b ,$$

on a nécessairement $a<r<b$. Mais, si le marché est viable, on peut appliquer ce qui vient d'être dit à la probabilité P* ; ainsi :

Une condition nécessaire pour que le marché soit viable est : $r\in ]a,b[$ ; nous supposerons cette condition vérifiée dans toute la suite.

Il n'était pas nécessaire de recourir aux résultats du paragraphe 3.3.4 pour obtenir ce résultat : si l'on suppose, par exemple, $r>b$ , il est facile de gagner de l'argent à coup sûr, sans apport initial et sans risque : à l'instant 0, on emprunte une action que l'on vend immédiatement pour placer l'argent obtenu à la caisse d'épargne (c'est ce qu'on appelle une "vente à découvert" : on vend une action qu'on ne possède pas), puis, à l'instant $N$, on rachète l'action sur le marché pour rembourser sa dette. Nous laisserons le lecteur écrire la statégie $\phi$ correspondante et vérifier que l'on est en présence d'un arbitrage ; que faire si $r<a$ ?
Pour aller plus loin, nous aurons besoin du lemme suivant :

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