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L'espace des épreuves

On pose $\Omega={\{1+a , 1+b\}}^N$ ; une épreuve $\omega$ sera donc une suite $\{t_1 , t_2 , ...,t_N\}$ de $N$ réels valant $1+a$ ou $1+b$ . Les fonctions coordonnées $T_i$ , définies par $T_i(\omega)=t_i$ , seront les $N$ variables aléatoires centrales de ce modèle . On notera $({\cal F}_n)$ la filtration naturelle engendrée par la suite $(T_n)$ , complétée à l'origine par ${\cal F}_0=\{\Omega , \phi\}$ .
Soit $s_0\in {\mathbb{R}}$ ; on définit une suite réelle $((S_n) \;\; ;\;\; 0\leq n\leq N)$ en posant

$$S_0=s_0\; ,\; S_1=s_0T_1 , .....,S_n=S_{n-1}T_n=s_0T_1T_2.....T_n$$

Nous laisserons au lecteur le soin de montrer que $({\cal F}_n)$ est aussi la filtration naturelle engendrée par la suite $(S_n)$ . Rappelons que nous disposons d'une deuxième suite $S^0$ , déterministe , définie par

$$S^0_n={(1+r)}^n =\frac{1}{{\beta}^n}$$

On munit $\Omega$ d'une probabilité $\textbf{P}$ soumise à une seule restriction : charger tous les points de $\Omega$ .