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Description du modèle .

Soient $a$ et $b$ deux réels vérifiant $-1<a<b$ ; nous allons construire un marché financier fini servant de modèle mathématique à la situation boursière simpliste suivante : il n'existe qu'un actif à risque $((S_n)\;\;\; ; 0\leq n\leq N)$ et , comme d'habitude , un actif non risqué $S^0_n={(1+r)}^n$ . Nos hypothèses sur le comportement de l'action $S$ seront celles ci : entre les instants $n$ et $n+1$ , le cours $S_n$ de l'actif risqué est multiplié de façon aléatoire soit par $1+a$ , soit par $1+b$ ; autrement dit ,

$$S_{n+1}=T_{n+1}S_n$$

où $(T_n)$ est une suite de v.a à valeurs dans l'ensemble à deux points $\{(1+a ), (1+b)\}$ . Cette hypothèse est très restrictive : imposer qu'un cours de bourse soit chaque jour , ou mutiplié par 2 , ou divisé par 3 , apparait comme hautement irréaliste ; elle conduit néammois à un modèle qui nous intéressera pour 3 raisons :

• il est mathématiquement très simple et permet des calculs explicites .
• comme nous le verrons ci-dessous , c'est un marché complet .
• il est l'analogue discret du modèle à temps continu de Black and Scholes .

En revanche , on n'impose aucune contrainte ni sur les lois des v.a. $T_n$ (qui peuvent dépendre de $n$) , ni sur leurs interactions (en particulier , on ne suppose pas leur indépendance) .

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