Section : Lemme :
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Proposition :

P* est l'unique probabilité sous laquelle la suite $((\tilde S_n)\;\;\; ; \;0\leq n\leq N)$ est une martingale. Le marché de Cox, Ross et Rubinstein est donc viable et complet.

Démonstration :

1. Vérifions tout d'abord que, sous P*, $(\tilde S_n)$ est une martingale ; comme $T_{n+1}$ est indépendante de ${\cal F}_n$, on a
   $$\textbf{E*}[T_{n+1}\vert {\cal F}_n]=\textbf{E*}[T_{n+1}]=\frac{1}{b-a}[(1+a)(b-r)+(1+b)(r-a)]=1+r ,$$
   ce qui, nous l'avons vu au début de ce paragraphe, entraine le résultat.
2. Soit P une autre probabilité sur $\Omega$ induisant la même propriété sur la suite $(\tilde S_n)$ ; on aura alors $\textbf{\^E}[T_{n+1}\vert {\cal F}_n]=1+r$ ; il résulte alors du lemme 4.3.1 que $T_{n+1}$ est indépendante de ${\cal F}_n$ (c'est à dire de $(T_1,T_2,...,T_n)$) et a pour loi $\mu$. On en déduit aisément que les v.a. coordonnées $T_n$ sont, sous P, indépendantes et de loi $\mu$ ; on a donc P=P*, c.q.f.d.