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Prix d'une option européenne dans le marché de Cox, Ross et Rubinstein

Le théorème qui suit est une conséquence immédiate de l'étude faite au chapitre précédent et des égalités (38)

Théorème

Soit $h$ une option européenne et soit $\textbf{P*}$ la probabilité sur $\Omega$ définie en 4.3.2 ; le prix $V_n$ de cette option à la date $n$ est donnée par la formule $V_n=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}} \textbf{E*}[h \vert {\cal F}_n]$ ; en particulier , son prix à la date 0 est $\frac{1}{{(1+r)}^N}\textbf{E*}[h]$ .

Beaucoup d'entre vous trouveront cette formule trop théorique donc peu digne d'attention ; les 2 conséquences suivantes peuvent peut être les faire changer d'avis :

• Soient $\textbf{P}_1$ et $\textbf{P}_2$ 2 probabilités sur $\Omega$ vérifiant respectivement $\textbf{P}_1[T_n=1+b]=0,99 \;\;\forall n$ (marché très haussier) et $\textbf{P}_2[T_n=1+a]=0,99 \;\;\forall n$ (krach permanent) ; comme $\textbf{P*}$ est la même dans les 2 cas , il en sera de même du prix d'une option : contrairement à une intuition trompeuse , le prix d'une option ne dépend pas de la tendance du marché .On observe le même phénomène dans le modèle de Black and Scholes . On peut avancer l'explication suivante : dans l'hypothèse haussière , par exemple , le vendeur d'une option , disposant d'argent frais à l'instant 0 a la possibilité le faire fructifier en achetant des actifs risqués ; il peut donc se permettre de vendre son option à un prix plus bas que celui auquel on pourrait s'attendre .
• La probabilité $\textbf{P*}$ est plus simple que la probabilité $\textbf{P}$ gouvernant le marché ; le fait que le prix d'une option se calcule sous $\textbf{P*}$ est une bénédiction : faire des calculs avec des v.a. indépendantes équidistribuées met tout probabiliste dans l'état euphorique que nous allons éprouver à la lecture du paragraphe suivant.

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