Section : Caractérisation des processus MA
Précédent : Exercice 8.
Suivant : Preuve du lemme .

Preuve de la proposition .

1. Montrons que ${\varepsilon}_t$ est centré :
   $${\mathbb{E}}\left[{\varepsilon}_t\right]=\langle{\varepsilon}_t,1\rangle=\langle X_t,1\rangle-\langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t),1\rangle$$
   Or l'opérateur de projection orthogonale est auto-adjoint. D'où
   $$\langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t),1\rangle=\langle X_t,P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(1)\rangle$$
   Comme $1\in V^2(1,X_u,u<t)$, $P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(1)=1$ ; d'où
   $${\mathbb{E}}\left[{\varepsilon}_t\right]=\langle{\varepsilon}_t,1\rangle=\langle X_t,1\rangle-\langle X_t,1\rangle=0$$
   Montrons maintenant que ${\varepsilon}_s$ et ${\varepsilon}_t$ sont décorrélées si $s<t$ :
   

   $$\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits ({\varepsilon}_s,{\varepsilon}_t) = {\mathbb{E}}\left[{\varepsilon}_s{\varepsilon}_t\right]$$

   $$= \langle{\varepsilon}_s,{\varepsilon}_t\rangle$$

   $$= \langle X_s,X_s\rangle-\langle X_s,P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\rangle-\langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<s)}(X_s),X_t\rangle$$

   $$+\langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<s)}(X_s),P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\rangle$$

   
   Or
   

   $$\langle X_s,P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\rangle = \langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_s),X_t\rangle \mbox{ car $P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}$\ est auto-adjoint}$$

   $$= \langle X_s,X_t\rangle X_s\in V^2(1,X_u,u<t)$$

   $$\langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<s)}(X_s),P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\rangle = \langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}\circ P^\bot_{V^2(1,X_u,u<s)}(X_s),X_t\rangle$$

   $$\ \mbox{ car $P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}$\ est auto-adjoint}$$

   $$= \langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<s)}(X_s),X_t\rangle$$

   $$\ P^\bot_{V^2(1,X_u,u<s)}(X_s)\in V^2(1,X_u,u<s)\subset V^2(1,X_u,u<t)$$

   
   On en déduit $\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits ({\varepsilon}_s,{\varepsilon}_t)=0$ . Montrons maintenant que $V^2(1,X_s\leq t)=V^2(1,X_s,s<t)\oplus_\bot V^2({\varepsilon}_t)$ , ce dont par récurrence on peut déduire la formule de l'énoncé.
   • ${\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}( X_t)\bot V^2(1,X_u,u<t)$ en vertu de la caractérisation de la projection orthogonale rappelée dans la preuve du lemme . Donc $V^2(1,X_u,u<t)$ et $V^2({\varepsilon}_t)$ sont orthogonaux, et $V^2(1,X_u,u<t)+V^2({\varepsilon}_t)=V^2(1,X_u,u<t)\oplus_\bot V^2({\varepsilon}_t)$ .
   • $V^2(1,X_u,u<t)\subset V^2(1,X_u,u\leq t)$ et ${\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\in V^2(1,X_u,u\leq t)$ ; d'où $V^2(1,X_u,u<t)+V^2({\varepsilon}_t)\subset V^2(1,X_u,u\leq t)$ .
   • $V^2(1,X_u,u\leq t)=V^2(1,X_u,u<t)+V^2(X_t)$ ; or $V^2(1,X_u,u<t)\subset V^2(1,X_u,u<t)+V^2({\varepsilon}_t)$ et $X_t={\varepsilon}_t+P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\in V^2(1,X_u,u<t)+V^2({\varepsilon}_t)$ ; d'où $V^2(1,X_u,u\leq t)\subset V^2(1,X_u,u<t)+V^2({\varepsilon}_t)$ , ce qui achève de montrer que $V^2(1,X_u,u\leq t)=V^2(1,X_u,u<t)\oplus_\bot V^2({\varepsilon}_t)$ .

Avant de démontrer le deuxième point de la proposition, il faut établir quelques lemmes préliminaires.

Lemme 2.I.5   Soit $X_1,\ldots,X_n,Y$ des variables aléatoires de carré intégrable. Alors

$$P^\bot_{V^2(1,X_1,\ldots,X_n)}(Y)={\alpha}_0+{\alpha}_1X_1+\cdots+{\alpha}_nX_n$$

si et seulement si

$$\left( \begin{array}{cccc} \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimit... ... \vdots\ \mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_n,Y)\end{array} \right)$$

et

$${\alpha}_0={\mathbb{E}}\left[Y\right]-{\alpha}_1{\mathbb{E}}\left[X_1\right]-\cdots-{\alpha}_n{\mathbb{E}}\left[X_n\right]$$

Section : Caractérisation des processus MA
Précédent : Exercice 8.
Suivant : Preuve du lemme .