Section : Caractérisation des processus MA
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Définition :

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus du second ordre. On appelle innovation associée à $X$ le processus du second ordre ${\varepsilon}=({\varepsilon}_t,t\in{\mathbb{Z}})$ défini par

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ {\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)=P^\bot_{V^2(1,X_s,s<t)^\bot}(X_t) .$$

Proposition 2.I.4   Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus du second ordre, et ${\varepsilon}=({\varepsilon}_t,t\in{\mathbb{Z}})$ son processus d'innovation. Alors

1. Les variables ${\varepsilon}_t$ sont décorrélées et centrées ; quel que soient $t\in{\mathbb{Z}},$ $h\geq0$, on a $V^2(1,X_u,u\leq t)=V^2(1,X_u,u<t-h)\oplus_\bot V^2({\varepsilon}_t,\ldots,{\varepsilon}_{t-h})$ .
2. Si $X$ est faiblement stationnaire, alors ${\varepsilon}$ est un bruit blanc faible.