Section : Caractérisation des processus MA
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Notations.

Soit $\left({\Omega},{\cal F},\P\right)$ un espace de probabilité, et $L^2\left({\Omega},{\cal F},\P\right)$ l'espace de Hilbert des variables aléatoires de carré intégrable, muni du produit scalaire

$$\forall U,V\in L^2({\Omega},{\cal F},\P),\ \ \langle U,V\rangle={\mathbb{E}}\left[UV\right]$$

On note $\Vert\ \Vert_2$ la norme hilbertienne associée. Si $H$ et $K$ sont deux sous-espaces de Hilbert orthogonaux, on note $H\oplus_\bot K=H+K$ qui est un sous-espace de Hilbert. Si $H$ et $K$ sont supplémentaires, on note $H\oplus_2K=\overline{H+K}^{\Vert\,\Vert_2}$ le sous-espace de Hilbert engendré par $H+K$.

Soit $(Y_i,i\in I)$ une famille de variables aléatoires de carré intégrable, définies sur $\left({\Omega},{\cal F},\P\right)$. On note $V^2(Y_i,i\in I)$ (resp. $L^2(Y_i,i\in I)$) le sous-espace de Hilbert de $L^2\left({\Omega},{\cal F},\P\right)$ engendré par les combinaisons linéaires de $(Y_i,i\in I)$ (resp. par les fonctions de carré intégrable de $(Y_i,i\in I)$).

Si $H$ est un sous-espace de Hilbert d'un espace de Hilbert $K$, on note $P^\bot_H$ le projecteur orthogonal de sur $H$, qui est un opérateur linéaire auto-adjoint sur $K$.