Section : Caractérisation des processus MA
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Preuve du théorème

Si $X$ est un processus MA($q$), alors on a déjà vu, lors de la preuve de la propriété , qu'il est faiblement stationnaire, centré, et que sa fonction d'autocovariance vaut

$${\gamma}_X(h)=\left\{ \begin{array}{cl} 0&\mbox{ si }h>q\ {\sig... ...\sum_{u=0}^{q-h}{\theta}_u{\theta}_{u+h}&\mbox{ si }h\leq q \end{array}\right.$$

où $X_t={\varepsilon}_t+{\theta}_1{\varepsilon}_{t-1}+\cdots+{\theta}_q{\varepsilon}_{t-q}$ avec ${\varepsilon}$ bruit blanc de variance ${\sigma}^2$. En particulier, ${\gamma}_X(q)={\theta}_q{\sigma}^2$ n'est pas nul, car par hypothèse ${\theta}_q\not=0$. Ce qui achève de montrer la première implication du théorème.

La démonstration de la réciproque est repoussé après l'introduction et l'étude du processus d'innovation.