Section : Définition et premières propriétés
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Exercice 3.

Soit $({\varepsilon}_t,t\in{\mathbb{Z}})$ une famille de variables aléatoires indépendantes de loi ${\cal N}(0,{\sigma}^2)$ (i.e. un bruit blanc gaussien) avec ${\sigma}\not=0$. On pose $X_t={\varepsilon}_t$ et $Y_t=(-1)^t{\varepsilon}_t$.

Les processus $X$, $Y$ et $X+Y$ sont-ils stationnaires ? Qu'en est-il de $(X,Y)=((X_t,Y_t),t\in{\mathbb{Z}})$ ?

Propriété 2.I.1   Soit $X$ un processus MA($q$) vérifiant

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ X_t={\varepsilon}_t+{\theta}_1{\varepsilon}_{t-1}+\cdots+{\theta}_q{\varepsilon}_{t-q}$$

avec ${\varepsilon}=({\varepsilon}_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un bruit blanc. Alors $X$ est faiblement (resp. fortement) stationnaire si ${\varepsilon}$ est un bruit blanc faible (resp. fort).