Section : Définition et premières propriétés
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Preuve de la propriété .

• Soit ${\varepsilon}$ est un bruit blanc faible de variance ${\sigma}^2$ ; calculons la fonction moyenne et la fonction d'autocovariance du processus MA($q$) $X=(X_t={\varepsilon}_t+{\theta}_1{\varepsilon}_{t-1}+\cdots+{\theta}_q{\varepsilon}_{t-q},t\in{\mathbb{Z}})$ , dont on a déjà vu qu'il est du second ordre :
  

  $${\mu}_X(t) = {\mathbb{E}}\left[X_t\right]={\mathbb{E}}\left[X_t\right]+{\theta}_1{\varepsilon}_{t-1}+\cdots+{\theta}_q{\varepsilon}_{t-q}=0$$

  $${\gamma}_X(s,t) = \mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_s,X_t)$$

  $$= \mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits \left(\sum_{u=0}^q{\theta}_u{\varepsilon}_{s-u},\sum_{u=0}^q{\theta}_u{\varepsilon}_{t-u}\right)$$

  $$= \sum_{u=0}^q\sum_{v=0}^q{\theta}_u{\theta}_v\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits \left({\varepsilon}_{s-u},{\varepsilon}_{t-v}\right)$$

  $$= {\sigma}^2\sum_{u=0}^q\sum_{v=0}^q{\theta}_u{\theta}_v1_{s-u=t-v}$$

  $$= {\sigma}^2\sum_{u=0}^q\sum_{v=0}^q{\theta}_u{\theta}_v1_{v-u=t-s}$$

  
  La fonction moyenne est constante, et donc invariante par translation temporelle : ${\mu}_X(t)={\mu}_X(t+h)=0$. La fonction d'autocovariance ne dépend que de $t-s$, et elle est donc aussi invariante par translation temporelle : comme $t-s=(t+h)-(s+h)$, alors ${\gamma}_X(s,t)={\gamma}_X(s+h,t+h)$. Ce qui montre que le processus $X$ est faiblement stationnaire.

  On peut simplifier l'expression de ${\gamma}_X$ :

  $${\gamma}_X(s,t)=\left\{ \begin{array}{cl} 0&\mbox{ si }\left\vert... ...ert} {\sigma}^2&\mbox{ si }\left\vert t-s\right\vert\leq q \end{array}\right.$$
• Si ${\varepsilon}$ est un bruit blanc fort, alors $\left({\varepsilon}_{s-q},\ldots,{\varepsilon}_{t}\right)$ a même loi que $\left({\varepsilon}_{s+h-q},\ldots,{\varepsilon}_{t+h}\right)$ : il s'agit de deux $t-s+q+1$-uplets de variables aléatoires indépendantes et de même loi (où on suppose $s\leq t$). Or $(X_s,\ldots,X_t)=f\left({\varepsilon}_{s-q},\ldots,{\varepsilon}_{t}\right)$ et $(X_{s+h},\ldots,X_{t+h})=f\left({\varepsilon}_{s+h-q},\ldots,{\varepsilon}_{t+h}\right)$ avec
  $$f(x_{-q},\ldots,x_{t-s})=\left(\sum_{u=0}^q{\theta}_ux_{-u},\sum_{u=0}^q{\theta}_ux_{1-u},\ldots,\sum_{u=0}^q{\theta}_ux_{t-s-u}\right)$$
  On en déduit que $(X_s,\ldots,X_t)$ et $(X_{s+h},\ldots,X_{t+h})$ ont même loi, ce qui montre que $X$ est fortement stationnaire.

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