Section : Caractérisation des processus MA
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Preuve du lemme .

Soit $U$ une variable aléatoire. On sait que $U=P^\bot_{V^2(1,X_1,\ldots,X_n)}(Y)$ si et seulement si $U\in V^2(1,X_1,\ldots,X_n)$ et $Y-U\bot V^2(1,X_1,\ldots,X_n)$ : autrement dit, si et seulement s'il existe ${\alpha}_0,\ldots,{\alpha}_n$ tel que

$$U={\alpha}_0+{\alpha}_1X_1+\cdots+{\alpha}_nX_n$$

et

$$\langle Y-U,1\rangle=0,\ \langle Y-U,X_1\rangle=0,\ \cdots\ ,\ \langle Y-U,X_n\rangle=0$$

Rappelons que $\langle A,B\rangle={\mathbb{E}}\left[AB\right]$, et que ${\mathbb{E}}\left[AB\right]=\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (A,B)$ si $A$ est une variable aléatoire centrée. On en déduit que $U={\alpha}_0+{\alpha}_1X_1+\cdots+{\alpha}_nX_n$ est égal à $P^\bot_{V^2(1,X_1,\ldots,X_n)}(Y)$ si et seulement si

$${\mathbb{E}}\left[Y-U\right]=0,\ \mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\n... ...s (Y-U,X_1)=0,\ \ldots\ ,\ \mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (Y-U,X_n)=0$$

ou encore

$${\mathbb{E}}\left[U\right]={\mathbb{E}}\left[Y\right],\ \ \mathop... ...shape {cov}}}\nolimits (U,X_n)=\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (Y,X_n)$$

En remplaçant $U$ par ${\alpha}_0+{\alpha}_1X_1+\cdots+{\alpha}_nX_n$, cette condition devient

$${\alpha}_0+{\alpha}_1{\mathbb{E}}\left[X_1\right]+\cdots+{\alpha}_n{\mathbb{E}}\left[X_n\right]={\mathbb{E}}\left[Y\right]$$

et

$$\left\{ \begin{array}{ccc} {\alpha}_1\mathop{\hbox{\upshape {cov}... ...(X_n,X_n)&=&\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (Y,X_n) \end{array}\right.$$

Ce qui sont les formules attendues.