Section : Caractérisation des processus MA
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Exercice 9.

Montrer que la matrice de covariance de $(X_1,\ldots,X_n)$ n'est pas inversible si et seulement si $(X_1,\ldots,X_n)$ est une famille affinement liée.

Corollaire 2.I.6   Soient $X$ un processus faiblement stationnaire et $h\geq1$. Alors, quel que soit $t\in{\mathbb{Z}}$,

$$P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})}(X_t)={\alpha}^{(h)}_0+{\alpha}_1^{(h)}X_{t+1}+\cdots+{\alpha}_h^{(h)}X_{t+h}$$

$$\Longleftrightarrow P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)={\alpha}_0^{(h)}+{\alpha}_1^{(h)}X_{t-1}+\cdots+{\alpha}_h^{(h)}X_{t-h}$$

$$\Longleftrightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1&{\rho}_X(1)&\dots&{\rho}_X(h-1)\ {\... ...in{array}{c} {\rho}_X(1)\\ {\rho}_X(2)\\ \vdots\\ {\rho}_X(h)\end{array}\right)$$ (21) (22)

$${\alpha}^{(h)}_0={\mu}_X(1-{\alpha}^{(h)}_1-\cdots-{\alpha}^{(h)}_h)$$

Le système linéaire () porte le nom d'équations de Yule-Walker.