Section : Mathématiques des marchés financiers
Précédent : Théorème
Suivant : Théorème

Prix et couverture d'une option européenne dans un marché complet

Nous en arrivons à la question centrale : à quel prix doit on vendre une option européenne $h$ ? La première estimation qui vient à l'esprit est la valeur moyenne de l'option à sa date d'exercice , à savoir $\textbf{E}[h]$ ; c'est oublier que la vente de l'option procure à son émetteur , dès l'instant 0 , une somme d'argent qu'il peut faire fructifier à sa guise ; il peut, par exemple, placer cet argent à la caisse d'épargne et, dans cette hypothèse, se permettre de vendre moins cher, au prix

$$\beta_N \textbf{E}[h]=\textbf{E}[\tilde h]=\frac{1}{({1+r})^N} \textbf{E}[h]$$ (4.32)

Mais, dans un marché complet, il peut faire mieux : il a (au moins théoriquement) la possibilité de simuler $h$ s'il consent à investir dans des actifs à risque ; il dispose ainsi d'une stratégie $\phi$ (appelée stratégie de couverture de l'option) lui permettant de constituer un portefeuille dont la valeur à l'instant $N$ est exactement $h$. Il est donc naturel de définir le prix $V_0$ de l'option $h$ à l'instant 0 et son prix $V_n$ à l'instant $n$ par

$$V_0=V_0(\phi) \;\;\;\;;\;\;\;\;V_n=V_n(\phi).$$

On notera que $V_0$ est une constante , (c'est le prix conseillé à l'émetteur de l'option) , tandis que $V_n$ est une variable aléatoire ${\cal F}_n$-mesurable , c'est à dire une fonction de l'évolution des cours observés jusqu'à la date $n$ , (dans les cas usuels ce sera une fonction du dernier cours $S_n$) , ce qui parait raisonnable .

Dans la réalité, notre option $h$ sera mise sur le marché tout comme une action, et deviendra ainsi un actif à risque supplémentaire ; elle aura un prix $W_n$ à l'instant $n$ ( différent de $V_n$) déterminé par la loi de l'offre et de la demande . $W_n$ est la somme d'argent qu'il vous faudra débourser s'il vous prend la fantaisie d'acheter cette option à la date $n$ ; que peut on penser s'il existe un écart important entre $V_n$et $W_n$? Trois choses différentes suivant les tempéraments :

• que l'on a perdu son temps en lisant ces notes qui exposent une théorie totalement étrangère aux réalités du marché .
• que la théorie probabiliste est valide mais que les statisticiens ont mal fait leur travail : la loi de probabilité $\textbf{P}$ gouvernant le cours des actifs est incorrecte .
• que le marché a tort parce qu'il ne saurait avoir raison contre un raisonnement mathématique ; si vous observez à la date $n$ un prix $W_n$ très inférieur à $V_n$ , vous investissez alors votre fortune et celle de toute votre famille dans l'option $h$ .

Bien entendu, si les opérateurs utilisent ces modèles , c'est parce que les prix qu'ils permettent de calculer ne sont pas trop éloignés des prix réels constatés sur les marchés financiers ; mais il est de mauvais esprits pour prétendre que n'importe quelle formule magique fournie par une cartomancienne ou un astrologue aboutirait au même résultat , pourvu que tous les opérateurs soient convaincus de sa pertinence : si la totalité d'entre eux sont persuadés qu'il existe un "juste prix" pour une option, c'est évidemment à ce prix là que s'effectueront les transactions. Mais revenons aux mathématiques ; on a le résultat suivant :

Section : Mathématiques des marchés financiers
Précédent : Théorème
Suivant : Théorème