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Théorème

Un marché viable est complet si et seulement s'il existe une probabilité unique sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales

Démonstration: a) Supposons le marché viable et complet et soit $h$ une v.a.r. $\geq 0$ ; il existe une stratégie admissible $\phi$ telle que $h=V_N(\phi )$ ; comme $\phi$ est autofinancée , on peut écrire (cf. la remarque 4.2.1)

$$\beta_Nh=\tilde V_N(\phi)=V_0(\phi)+\sum_1^N<\phi_j , \Delta \tilde S_j>.$$

Si $\textbf{P}_1$et $\textbf{P}_2$ sont deux probabilités sous lesquelles $(\tilde S_n)$ est une martingale, on aura $\beta_N \textbf{E}_1[h]=\beta_N \textbf{E}_2[h]$ , ce qui entraine évidemment $\textbf{P}_1=\textbf{P}_2$

b) Inversement , supposons le marché viable et non complet ; il exite alors une v.a. $h \geq 0$ non simulable ; reprenant les notations du corollaire 4.2.2, cela signifie que $\cal V$ est un sous espace vectoriel strict de $\cal E$ que nous munirons maitenant du produit scalaire $<X,Y>=\textbf{E*}[XY]$ ; d'après ce que l'on sait des espaces euclidiens, il existe dans $\cal E$ un vecteur $X$ non nul (i.e. une v.a.r. non nulle) orthogonal à $\cal V$ ; cela entraine en particulier, puisque $X$ est orthogonale aux constantes, $\textbf{E*}[X]=0$ . Définissons alors $\textbf{P}_*$ par l'égalité

$$\textbf{P}_*=\frac{k+X}{k}\textbf{P*}=(1+\frac{X}{k})\textbf{P*}$$

où $k$ est un réel $>0$ assez grand pour que $k+X>0$ ; il est alors facile de voir que $\textbf{P}_*$ est une probabilité différente de $\textbf{P*}$ ; de plus, quelque soit la suite prévisible $\psi$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ ,

$$\textbf{E}_*[\sum_1^N<\psi_n , \Delta {\tilde S}_n>]=\textbf{E*}[X\sum_1^N <\psi_n , \Delta {\tilde S}_n>]=0.$$

Il résulte alors du lemme 3.3.4 que ( ${\tilde S}_n$) est une martingale sous $\textbf{P}_*$ .

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