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Proposition

Soit $h$ une option européenne réplicable ; $\pi(h)$ est l'unique prix excluant l'arbitrage de cette option. Démonstration :

1. Montrons d'abord que $\pi(h)$ est un p.e.a. de l'option $h$ ; revenons aux notations de et posons $H_{n}=V_{n}(\phi)¥¥$. Soit d'autre part $\textbf {P*}\in \cal P$ ; comme $(\tilde{S}_{n})Â¥$ et $(\tilde{H}_{n}Â¥)$ sont des P*-martingales, il en est de même de $(\tilde{S}_{n},\tilde{H}_{n})¥¥)$. Il en résulte que le marché financier étendu $\Big(\Omega , (\bar{S}_{n}):=(S_{n},H_{n}¥¥) , \textbf {P}Â¥\Big)$ est viable.
2. Passons à l'unicité ; désignons par $(h_{n}Â¥)$ une suite adaptée de v.a.r. $\geq 0$ vérifiant $h_{N}=hÂ¥$ et posons $\pi =h_{0}Â¥$. Nous allons montrer que, si $\pi \neq \pi(h)$, on peut construire une statégie d'arbitrage dans le marché financier étendu $\Big(\Omega, \bar{S}_{n}:=(S_{n},h_{n}), \textbf {P}\Big)$. ( On considère maintenant que l'option, introduite dans le marché, constitue un actif à risque supplémentaire noté $d+1$ dont le cours à la date $n$ est $h_{n}Â¥$).
   Supposons par exemple $\pi > \pi(h)$ ; posons alors $\bar{\psi}_{n}=(\phi_{n}^{1}, \phi_{n}^{2},\ldots ,\phi_{n}^{d},-1)$ et désignons par $(\bar{\phi}_{n})$ le portefeuille autofinancé coïncidant avec $\bar{\psi}$ sur les actifs à risque du marché étendu et vérifiant $V_{0}(\bar{\phi})=0$ (Cf. ). On a
   

   $$V_{n}(\bar{\phi}) = \bar{\phi}_{n}^{0}S_{n}^{0}+\phi_{n}^{1}S_{n}^{1} +\ldots +\phi_{n}^d S_{n}^d-h_{n}$$ (4.26)

   $$= (\bar{\phi}_{n}^{0}-\phi_{n}^{0})S_{n}^{0}+V_{n}(\phi)-h_{n}$$ (4.27)

   
   (4.27) écrite en $n=0$ conduit à l'égalité

   $$\bar{\phi}_{0}^{0}-\phi_{0}^{0}=\pi-\pi(h)$$ (4.28)

   
   Comme les stratégies $\bar{\phi}$ et $\phi$ sont autofinancées, (4.26) s'écrit encore
   

   $$V_{n}(\bar{\phi}) = \bar{\phi}_{n+1}^{0}S_{n}^{0}+\phi_{n+1}^{1}S_{n}^{1} +\ldots +\phi_{n+1}^d S_{n}^d-h_{n}$$ (4.29)

   $$= (\bar{\phi}_{n+1}^{0}-\phi_{n+1}^{0})S_{n}^{0}+V_{n}(\phi)-h_{n}$$ (4.30)

   
   Comparant (4.27) et (4.30), on obtient les relations
   $$\bar{\phi}_{n+1}^{0}-\bar{\phi}_{n}^{0}=\phi_{n+1}^{0}-\phi_{n}^{0}$$
   Compte tenu de (4.28), on a donc
   

   $$\bar{\phi}_{n}^{0} = \pi -\pi(h)+\phi_{n}^{0}$$

   $$V_{n}(\bar{\phi}) = (\pi -\pi(h))(1+r)^n +V_{n}(\phi)-h_{n}$$

   $$V_{N}(\bar{\phi}) = (\pi -\pi (h))(1+r)^{N}\;>0$$

   
   La stratégie $\bar{\phi}$ constitue donc un arbitrage qui peut être mis en pratique de la façon suivante :
   le spéculateur attiré par la surévaluation de l'option $h$ l'emprunte à la date 0, la vend immédiatement sur le marché au prix $\pi$, et prélève sur cette somme la quantité $\pi(h)$ qui lui permet d'acheter le portefeuille de couverture $\phi$ de l'option $h$ ; la somme restante, $\pi -\pi(h)$, est placée à la caisse d'épargne. Après avoir laissé au lecteur le soin d'imaginer une stratégie d'arbitrage dans le cas où $\pi<\pi(h)$, on conclut qu'on a nécessirement $\pi =\pi(h)$.

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