Section : Sratégies autofinancées
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Proposition:

Soient $V_0$ une v.a.r. ${\cal F}_0$-mesurable (i.e. une constante) et $((\phi _n^1 , \phi _n^2,...,\phi _n^d)\;\;\;;n\in \{0,1,...,N\})$ une suite prévisible à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ ; il existe stratégie autofinancée $\phi =(\phi_n^0,\phi_n^1,\phi_n^2,...,\phi_n^d)$ unique telle que $V_0(\phi )=V_0$.

Démonstration : Si $u =(u^0,u^1,...,u^d) \;et\; v=(v^0,v^1,...,v^d)\in {\mathbb{R}}^{d+1}$ , nous introduirons la notation

$$[u,v]=\sum_{k=1}^{k=d}u^kv^k=<u,v>-u^0v^0.$$ (4.6)

Si $\phi$ est une stratégie de gestion satisfaisant aux conditions de l'énoncé, les relations () d'éfinissant l'autofinancement sont équivalente aux égalités

$$<\Delta \phi_{n} , \tilde{S}_{n-1}Â¥>=0\;\;\;\;\;\forall n\geq 1$$

qui s'écrivent encore

$$\Delta \phi_{n}^{0}=-[\Delta \phi_{n},\tilde{S}_{n-1}]¥¥$$ (4.7)

On aura en outre

$$V_{0}=V_{0}(\phi)=\phi_{0}^{0}+[\phi_{0},S_{0}]$$ (4.8)

ou encore,

$$\phi_{0}^{0}=V_{0}-[\phi_{0},S_{0}]$$ (4.9)

Les égalités (4.7) et (4.9) montrent que la suite $(\phi^{0}_{n})$ est complètement déterminée par les suites $(\phi_{n}^k\;\;,\;k\geq 1)$ , ce qui montre l'unicité de $\phi$. Pour montrer son existence, revenons aux égalités (4.7) et (4.9) qui nous permettent de définir une suite $(\phi_{n}^{0})$ et une stratégie de gestion $\phi =(\phi_n^0,\phi_n^1,...,\phi_n^d)$. Il est clair que $\phi$ est autofinancée ; il reste à montrer que $\phi_{n}^{0}$ est prévisible, ce qui résulte facilement de (4.7).

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