Section : Caractérisation des processus AR
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Preuve de la proposition .

Soient $t\in{\mathbb{Z}}$, $h\geq1$ quelconques.

• Supposons $R_X(h)$ - ou, ce qui revient au même, ${\Gamma}_X(h)$ - non inversible, et montrons que $r_X(t,t+h)=0$. En effet, il existe alors $(a_1,...,a_h)\not=(0,...,0)$ tel que
  $$(a_1,...,a_h){\Gamma}_X(h){}^t(a_1,...,a_h)=0;$$
  autrement dit, comme $\Gamma_X(h)$ est la matrice de covariance de tout $h$-uplet $(X_{s+1},\ldots,X_{s+h})$, avec $s\in{\mathbb{Z}}$, cela signifie
  $$\forall s\in{\mathbb{Z}},\ \ \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (a_1 X_{s+1}+\cdots+a_h X_{s+h})=0,$$
  ou encore
  $$\forall s\in{\mathbb{Z}},\ \ a_0+a_1 X_{s+1}+\cdots+a_h X_{s+h}=0$$ (p.s.)$$\$$
  avec $a_0=-{\mu}_X(a_1+\cdots+a_h)$. Soit $l\in\{1,\ldots,h\}$ l'indice le plus grand tel que $a_l$ soit différent de 0. Alors, en posant $s=t+h-l-1$, $\P$-p.s.,
  

  $$a_0+a_1 X_{t+h-l-1}+\cdots+a_l X_{t+h} =$$ 0

  
  Il en résulte que $X_{t+h}$ peut s'écrire comme combinaison affine de $(X_1,\ldots,X_{h-1})$, et est donc égal à $P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_h)$. Par définition de la corrélation partielle, cela implique $r_X(t,t+h)=0$.
• Supposons désormais $R_X(h)$ inversible, et soit $({\alpha}_0^{(h)},\ldots,{\alpha}_h^{(h)})$, déterminé par les équations de Yule-Walker de dimension $h$ :
  $$\begin{array}{c} R_X(h)\left(\begin{array}{c} {\alpha}_1^{(... ..._X(1-{\alpha}^{(h)}_1-\cdots-{\alpha}_{h}^{(h)}). \end{array}$$
  Si on établit que $r_X(t,t+h)={\alpha}_h^{(h)}$, comme la définition de ${\alpha}_h^{(h)}$ ne dépend pas de $t$, cela montrera bien que $r_X=r_{B(X)}$. D'après le corollaire , les coefficients ${\alpha}_0^{(h)},\ldots,{\alpha}_h^{(h)}$ apparaissent dans la projection de $X_{t}$ sur $X_{t+1},\ldots,X_{t+h}$ :
  $$P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})}(X_{t})={\alpha}_0^{(h)}+{\alpha}_1^{(h)}X_{t+1}+\cdots+{\alpha}_{h}^{(h)}X_{t+h}$$
  Or $V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})$ est un sous-espace de Hilbert de $V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})$ ; en conséquence :
  $$P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}\circ P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})}=P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}.$$
  Il en résulte :
  

  $$P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_t) = P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}\left(P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})}(X_{t})\right)$$

  $$= {\alpha}_0^{(h)}+{\alpha}_1^{(h)}X_{t+1}+\cdots+{\alpha}_{h-1}^{(h)}X_{t+h-1}+{\alpha}_h^{(h)}P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t+h})$$

  $$X_t-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_t) = X_t-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})}(X_t)$$

  $$+P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})}(X_t)-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_t)$$

  $$= X_t-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})}(X_t)+{\alpha}_h^{(h)}\left(X_{t+h}-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t+h})\right)$$

  
  Comme $X_t-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})}(X_t)$ est décorrélé avec tout élément de $V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h})$, en particulier avec $X_{t+h}-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t+h})$, on en déduit
  

  $$\hskip-1.5cm\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits \left(X_t-P^\... ...{t+h-1})}(X_t),X_{t+h}-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t+h})\right)$$

  $$= {\alpha}_h^{(h)}\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(X_{t+h}-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t+h})\right)$$

  $$r_X(t,t+h) = \frac{\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits \left(X_t-P^\bot_{V... ...limits \left(X_{t+h}-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t+h})\right)}}$$

  $$= {\alpha}_h^{(h)}\sqrt{\frac{\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimi... ...}\nolimits \left(X_{t}-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t})\right)}}$$

  
  Reste donc à montrer que
  $$\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(X_{t}-P^\bot_{V^2(1... ...olimits \left(X_{t+h}-P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t+h})\right)$$
  On choisit, indépendamment de $t$, des coefficients ${\alpha}_0^{(h-1)},\ldots,{\alpha}_{h-1}^{(h-1)}$ vérifiant les équations de Yule-Walker de dimension $h-1$ :
  $$\begin{array}{c} R_X(h-1)\left(\begin{array}{c} {\alpha}_1^{... ...-{\alpha}^{(h-1)}_1-\cdots-{\alpha}_{h-1}^{(h-1)}). \end{array}$$
  Alors, d'après le corollaire ,
  

  $$X^+_{t} = P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t})={\alpha}^{(h-1)}_0+{\alpha}^{(h-1)}_1X_{t+1}+\cdots+{\alpha}^{(h-1)}_{h-1}X_{t+h-1}$$

  $$X^-_{t+h} = P^\bot_{V^2(1,X_{t+1},\ldots,X_{t+h-1})}(X_{t+h})={\alpha}_0^{(h-1)}+{\alpha}_1^{(h-1)}X_{t+h-1}+\cdots+{\alpha}_{h-1}^{(h-1)}X_{t+1}$$

  
  D'où
  

  $$\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_{t}-X_{t}^+) = \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_{t}-{\alpha}_1^{(h-1)}X_{t+1}-\cdots-{\alpha}^{(h-1)}_{t+h-1}X_{t+h-1})$$

  $$= (1,-{\alpha}_1^{(h-1)},\ldots,-{\alpha}_{h-1}^{(h-1)}){\Gamma}_X(h){}^t(1,-{\alpha}^{(h-1)}_{1},\ldots,-{\alpha}^{(h-1)}_{h-1})$$

  $$\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_{t+h}-X_{t+h}^-) = \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_{t+h}-{\alpha}_1^{(h-1)}X_{t+h-1}-\cdots-{\alpha}^{(h-1)}_{h-1}X_{t+1})$$

  $$= (1,-{\alpha}^{(h-1)}_1,\ldots,-{\alpha}^{(h-1)}_{h-1}){\Gamma}_X(h){}^t(1,-{\alpha}^{(h-1)}_{1},\ldots,-{\alpha}^{(h-1)}_{h-1})$$

  
  Les deux variances $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_{t}-X_{t}^+)$ et $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_{t+h}-X_{t+h}^-)$ sont donc égales ; elles sont non nulles car par hypothèse ${\Gamma}_X(h)$ est définie positive ; enfin leur valeur est visiblement indépendante de $t$.

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